Алгебра Лі
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
У математиці алгебра Лі — це векторний простір разом із операцією, яку називають дужкою Лі — антисиметричне білінійне відображення[en] , , що задовольняє тотожність Якобі.[lower-alpha 1] Векторний простір з цією операцією не обов'язково є асоціативною алгеброю, тобто, дужка Лі не є обов'язково асоціативною.
Алгебри Лі тісно пов'язані з групами Лі, тобто групами, що також є гладкими многовидами: будь-якій групі Лі відповідає алгебра Лі, яка є її дотичним простором в одиниці. І навпаки, для будь-якої скінченновимірної алгебри Лі над дійсним або комплексним полем існує відповідна зв'язна група Лі, єдина з точністю до скінченних накриттів (третя теорема Лі[en]). Ця відповідність[en] дозволяє звести дослідження структури та класифікацію груп Лі відповідно до дослідження структури та класифікації алгебр Лі.
У фізиці групи Лі виникають як групи симетрії фізичних систем, а їх алгебри Лі можна розглядати як інфінітезимальні перетворення[en] симетрії з околу одиничного перетворення. Загалом, алгебри Лі та їх представлення широко використовуються у фізиці, зокрема в квантовій механіці та фізиці елементарних частинок.
Елементарним прикладом є тривимірний векторний простір з дужкою, визначеною як векторний добуток . Вона є антисиметричною, оскільки , і задовольняє тотожність Якобі:
Це алгебра Лі групи Лі обертань простору і кожен вектор може бути зображений як інфінітезимальний поворот навколо осі співнапрямленої з зі швидкістю, що дорівнює довжині . Також будь-який поворот комутує сам із собою, тому справедлива властивість альтернативності: . Значення дужки Лі двох поворотів рівне нулю тоді й лише тоді, коли такі повороти комутують. Тому говорять, що дужка Лі є мірою некомутативності поворотів.