Гармоник рәт

Гармоник рәт — җыелмый торган чиксез гармоник рәт: натураль рәтнең саннарына кире әгъзаларның суммасы:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots }$.

Рәт гармоник дип аталган, чөнки эскрипкә кылыннан чыгарылган ${\displaystyle k}$-нче гармоникаларның суммасына тигез. ${\displaystyle k}$-нче гамоника - башлангыч кылның ${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$- озынлыклы кылының төп тавышы (тон).

Җыелмаучанлык

Гармоник рәт әкрен кенә җыелмый, өлешчә суммасы 100 не арттырып үтәсен өчен 10⁴³ рәт әгъзасы кирәк.

Рәтнең аерым әгъзалары нульга омтылса да, аның суммасы җыелмый. Өлешчә суммасы болай бирелә:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Өлешчә суммалары

${\displaystyle {\begin{matrix}s_{1}&=&1\\\\s_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\s_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\s_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\\\\s_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}s_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\s_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\s_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\s_{10^{3}}&\approx &7{,}484\\\\s_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}}$

Эйлер тигезләмәсе

1740 елда Леонард Эйлер рәтнең беренче ${\displaystyle n}$ әгъзалары суммасы өчен тигезләмә таба:

${\displaystyle s_{n}=\ln(n)+\gamma +\varepsilon _{n}}$,

биредә ${\displaystyle \gamma =0{,}5772...}$ — Эйлер — Маскерони даимие, ә ${\displaystyle \ln }$ — натураль логарифм.

${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}$, шуңа күрә зур ${\displaystyle n}$ өчен:

${\displaystyle s_{n}\approx \ln(n)+\gamma }$ — Эйлер формуласы

Эйлер тигезләмәсе буенча суммалар

${\displaystyle n}$	${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle \ln(n)+\gamma }$	${\displaystyle \varepsilon _{n}}$, (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Төгәлрәк ассимтотик формула::

${\displaystyle s_{n}\asymp \ln(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}}}$, биредә ${\displaystyle B_{2k}}$ — Бернулли саннары

Әлеге рәт җыелмый.

Бәйләнгән рәтләр

Дирихле рәте

Гомумиләштерелгән гармоник рәт яки Дирихле рәте түбәндәге бирелә:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+\cdots }$.

Дирихле рәте

• ${\displaystyle \alpha \leqslant 1}$ булган очракта җыелмый : ${\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$
• ${\displaystyle \alpha >1}$ булган очракта җыела

${\displaystyle \alpha }$-дәрәҗәдәге Дирихле рәтенең суммасы Риман дзета-функциясенә тигез:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )}$

мәсәлән, ${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$,

Гармоник рәтнең җыелмаучанлыгы түбәндәге тигезләмәдән күренә:

${\displaystyle \zeta (1+{\frac {1}{n}})\sim n}$.

${\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Алмаш тамгалы рәт

Алмаш тамгалы рәт түбәндәге күренә:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots }$

Алмаш тамгалы рәт Лейбниц билгесе буенча җыела, әлеге рәт шартлы җыелучан дип атала. Аның суммасы:

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.}$

Лейбниц рәте

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.}$

Әдәбият

• Р. Грэхэм, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — стр. 47. — С. 703 ISBN 5-03-003773-X
• Harmonic Number — from Wolfram MathWorld
• Перейти к: 1 2 Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
• «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003