Standart normal dağılım

Normal dağılım kullanılarak bazı olasılık değerlerini hesaplamak zor ve zahmetli olabilir.^[1] Bu nedenle, normal dağılımın ortalaması sıfıra ve varyansı bire eşitlenerek işlemler daha kolay hale getirilir.^[2][3] Bu yönteme standart normal dağılım adı verilir.^[4][5][6][7]

${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$

şeklinde gösterilen normal dağılımda, X değişkeninden ortalamayı çıkarıp standart sapmaya bölerek standartlaştırma yapılır. Bu işlem şu şekilde gösterilir:

${\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}=Z\sim N(0,1)}$

Örneğin, bir sınıftaki not ortalaması 20 ve varyansı 25 olan bir normal dağılımda, 22'den daha az not alınma olasılığını hesaplamak için:

${\displaystyle X\sim N(20,25)}$

şeklinde tanımlama yapılır ve bu veriler standart normal dağılıma dönüştürülür:

${\displaystyle {\frac {22-20}{5}}=Z\sim N(0,1)}$

P(X<22) = P(Z<(22-20)/5) = P(Z<0.4) olur. Standart normal dağılım tablosundan 0.4 olasılığı bulunarak P(Z<0.4) ≈ 0,6554 elde edilir. Bu durumda 22'den daha az not alma olasılığı yaklaşık %65 olarak hesaplanır. Normal dağılım, üniversitelerde not dağılımını hesaplamak için kullanıldığı için sıklıkla "çan eğrisi" olarak da adlandırılır.^[8]

Standart normal dağılımın olasılık gösterimleri:

P(Z>Z₀) = 1 - P(Z<Z₀) P(Z<-Z₀) = 1 - P(Z<Z₀) P(Z>-Z₀) = P(Z<Z₀) [Normal dağılımın simetrik olması nedeniyle] P(Zₐ<Z<Z_b) = P(Z<Z_b) - P(Z<Zₐ) P(-Zₐ<Z<Z_b) = P(Z<Z_b) - [1 - P(Z<Zₐ)] = P(Z<Z_b) + P(Z<Zₐ) - 1