Parabolik yörünge

Parabolik yörünge veya kaçış yörüngesi, dış merkezliği 1 olan yörüngelerdir. Yörünge üzerinde bulunan cismin hızı kaçış hızına eşittir ve dolayısıyla herhangi bir gezegenin yer çekimsel kuvvetinden kurtulabilirler. Yörünge üzerindeki cismin hızı arttırıldığı takdirde, hiperbolik yörüngeye geçer.

Baker denklemi

Barker denklemi, uçuş süresi t'yi bir parabolik yörüngenin gerçek anomali nu'su ile ilişkilendirir:^[1]

${\displaystyle t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

burada:

• ${\displaystyle D=\tan {\frac {\nu }{2}}}$ yardımcı değişkendir
• ${\displaystyle T}$ periapsis geçiş zamanı
• ${\displaystyle \mu }$ standart yerçekimi parametresidir
• ${\displaystyle p}$ yörüngenin yarı latus rektumudur (${\displaystyle p=h^{2}/\mu }$ )

Daha genel olarak, bir yörüngedeki herhangi iki nokta arasındaki süre

${\displaystyle t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)}$

Alternatif olarak, denklem parabolik bir yörüngede ${\displaystyle r_{p}=p/2}$ periapsis mesafesi cinsinden ifade edilebilir:

${\displaystyle t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

Eliptik ve hiperbolik yörüngelerdeki gerçek anomalileri çözmek için kullanılan Kepler denkleminden farklı olarak, Barker denklemindeki gerçek anomali doğrudan ${\displaystyle t}$ için çözülebilir. Aşağıdaki yerini koymalar yapılırsa

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)\\[3pt]B&={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}\end{aligned}}}$

sonra

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)}$

Hiperbolik fonksiyonlarla çözüm şu şekilde de ifade edilebilir:^[2]

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(2\sinh {\frac {\mathrm {arcsinh} {\frac {3M}{2}}}{3}}\right)}$

burada

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}$

Kaynakça

1. Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60061-0. p 188
2. Zechmeister, Mathias (2020). "Solving Kepler's equation with CORDIC double iterations" (PDF). MNRAS. 500 (1): 109-117. arXiv:2008.02894 $2. Bibcode:2021MNRAS.500..109Z. doi:10.1093/mnras/staa2441. 14 Kasım 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 4 Kasım 2022. Eq.(40) and Appendix C.