Özel fonksiyonların önemli bir bölümünü oluşturan hipergeometrik fonksiyonlar matematik, fizik, mühendislik ve olasılıkta karşımıza çıkar.
ve
reel ya da kompleks sabitler olmak üzere
olarak ifade edilen seriye Gauss hipergeometrik serisi veya hipergeometrik seri denir. Bu ifade
geometrik serisinin bir genelleştirilmesi olduğundan bu adı alır.
değeri sıfır ya da negatif bir tam sayı olmamalıdır. Hipergeometrik serisi
için yakınsak,
için ıraksaktır.
olduğu zaman
ise seri mutlak yakınsaktır.
iken
ise seri yakınsaktır.
Hipergeometrik serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir. ;\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}}
dir.
Hipergeometrik fonksiyonu ifade eden
gösterimi yerine
Gösterimide kullanılır. Yani ;\gamma ;x)=_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)}
olup, bu fonksiyon Gauss hipergeometrik fonksiyonu veya hipergeometrik fonksiyon olarak bilinir.
Genelleştirilmiş ifadesi
veya
şeklindedir.