Euler dörtgen teoremi

Leonhard Euler (1707–1783) adını taşıyan Euler dörtgen teoremi veya Euler'in dörtgenler yasası, dışbükey bir dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkiyi açıklar. Pisagor teoreminin genellemesi olarak görülebilecek Paralelkenar yasasının bir genellemesidir. Bu nedenle Pisagor teoreminin dörtgenler açısından yeniden ifade edilmesi bazen Euler-Pisagor teoremi olarak adlandırılır.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Teorem ve özel durumlar

Kenarları ${\displaystyle a,b,c,d}$, köşegenleri ${\displaystyle e}$ ve ${\displaystyle f}$ ve iki köşegenin orta noktalarını birleştiren doğru parçası ${\displaystyle g}$ olan olan bir dışbükey dörtgen için aşağıdaki denklem geçerlidir:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Dörtgen bir paralelkenar ise, o zaman köşegenlerin orta noktaları çakışır, böylece bağlantı doğru parçası ${\displaystyle g}$'nin uzunluğu 0 olur. Ayrıca paralel kenarlar eşit uzunluktadır, bu nedenle Euler teoremi;

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$

haline indirgenir ki bu da paralelkenar yasasıdır.

Dörtgen bir dikdörtgen ise denklem daha da basitleşir, çünkü artık iki köşegen de eşit uzunluktadır:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$

Denklemin her iki tarafını 2 ile bölüp sadeleştirmek Euler-Pisagor teoremini verir:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$

Başka bir deyişle, dörtgenin bir dikdörtgen olması durumunda, dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkisi Pisagor teoremi ile tanımlanır.^[1]

Diğer formülasyon ve genişlemeler

Paralelkenar ile Euler teoremi

Euler başlangıçta yukarıdaki teoremi, ek bir noktanın eklenmesini gerektiren ancak daha yapısal kavrayış sağlayan biraz farklı bir teoremden doğal olarak türetmiştir.

Verilen bir ${\displaystyle ABCD}$ dışbükey dörtgeni için Euler, ${\displaystyle ABED}$ bir paralelkenar oluşturacak şekilde ilave bir ${\displaystyle E}$ noktası getirdi ve böylece aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$

Paralelkenarın parçası olmayan dörtgenin ${\displaystyle C}$ noktası ile ilave ${\displaystyle E}$ noktası arasındaki ${\displaystyle |CE|}$ uzunluğu, dörtgenin paralelkenardan ne kadar saptığını ölçmek olarak düşünülebilir ve ${\displaystyle |CE|^{2}}$, paralelkenar yasasının orijinal denklemine eklenmesi gereken düzeltme terimidir.^[2]

${\displaystyle M}$, ${\displaystyle AC}$'nin orta noktası olmak üzere ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}$'dir. ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle BD}$'nin orta noktası olduğunda aynı zamanda ${\displaystyle AE}$'nin de orta noktası olur, ${\displaystyle AE}$ ve${\displaystyle BD}$, her ikisi de ${\displaystyle ABED}$ paralelkenarının köşegenidir. Bu ${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2}$ eşitliğini verir ve dolayısıyla${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$'dir. Bu nedenle, Kesişme teoremi|nden (ve onun tersinden) şu sonuca varır: ${\displaystyle CE}$ ve ${\displaystyle NM}$ paraleldir ve${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$, bu da Euler teoremini verir.^[2]

Euler teoremi, çaprazlanmış ve düzlemsel olmayanları içeren daha büyük bir dörtgenler kümesine genişletilebilir. Basitçe dört rastgele noktadan oluşan genelleştirilmiş dörtgenler için geçerlidir. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bir döngü çizgesi oluşturacak şekilde kenarlarla birbirine bağlanır.^[3]