Doğrusallık

Doğrusallık, grafiksel olarak düz bir çizgi olarak gösterilebilen matematiksel bir ilişkinin (fonksiyonun) özelliğidir. Doğrusallık, orantılılık kavramı ile yakından ilişkilidir. Fizikteki örnekler, bir elektrik iletkenindeki (Ohm yasası) voltaj ve akımın doğrusal ilişkisini ve kütle ve ağırlık ilişkisini içermektedir. Daha karmaşık ilişkiler doğrusal olarak sayılmamaktadır.

Birden fazla boyuttaki fonksiyonlar için genelleştirilmiş olan lineerlik, bir fonksiyonun toplama ve ölçekleme ile uyumlu olma özelliği anlamına gelmektedir. Aynı zamanda süperpozisyon ilkesi olarak da bilinmektedir.

Lineer kelimesi Latince lineeris'ten gelmektedir. "Bir çizgiyle ilgili veya ona benzeyen" anlamına gelmektedir.

Matematikteki yeri

Matematikte, doğrusal bir harita veya doğrusal fonksiyon f(x), iki özelliği karşılayan bir fonksiyondur:^[1]

• Toplanabilirlik: f(x + y) = f(x) + f(y).
• 1derecenin homojenliği f(αx) = α f(x) tüm α için.

Bu özellikler süperpozisyon ilkesi olarak bilinmektedir. Bu tanımda x mutlaka gerçek bir sayı değildir. Ancak genel olarak herhangi bir vektör uzayının bir elemanı olmaktadır. Doğrusal fonksiyonun daha özel bir tanımı, doğrusal harita tanımıyla örtüşmemektedir. Temel matematikte kullanılmaktadır.

Toplamsallık tek başına rasyonel α için homojenliği ifade eder. ${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$ ve ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ eşitlikleri, matematiksel tümevarım yoluyla herhangi bir doğal sayı n için yazılmaktadır. Ayrıca${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$, ${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$ eşitlikleri de yazılmaktadır. Gerçeklerdeki rasyonel sayıların yoğunluğu, herhangi bir toplamsal sürekli fonksiyonun herhangi bir gerçek sayı α için homojen olduğunu ve dolayısıyla lineer olduğunu göstermektedir.

Doğrusallık kavramı, doğrusal operatörlere genişletilebilmektedir. Doğrusal operatörlerin önemli örnekleri, bir diferansiyel operatör olarak kabul edilen türevi ve diğer operatörleri içermektedir. Bir diferansiyel denklem lineer biçimde ifade edilebildiğinde, genellikle denklemi daha küçük parçalara bölerek, bu parçaların her birini çezmektedir. Ayrıca çözümleri toplayarak çözülebilmektedir.

Doğrusal cebir, vektörler, vektör uzayları ("doğrusal uzaylar" olarak da adlandırılır), doğrusal dönüşümler ("doğrusal haritalar" olarak da adlandırılır) ve doğrusal denklem sistemleri ile ilgili matematiğin dalıdır.

Doğrusal polinomlar

Yukarıdaki tanımdan farklı bir kullanımda, 1. dereceden bir polinomun lineer olduğu söylenmektedir. Çünkü bu formun bir fonksiyonunun grafiği düz bir çizgidir.^[2]

Gerçekler üzerinde, doğrusal bir denklem şu şekillerden biridir:

${\displaystyle f(x)=mx+b\ }$

burada m genellikle eğim veya gradyan olarak adlandırılmaktadır. "b", fonksiyonun grafiği ile y ekseni arasındaki kesişme noktasını veren y-kesme noktasını temsil etmektedir.

Lineer teriminin bu kullanımının yukarıdaki bölümdekiyle aynı olmadığına dikkat edilmelidir. Çünkü reel sayılar üzerindeki lineer polinomlar genel olarak ne toplama ne de homojenliği sağlamamaktadır. Aslında, bunu ancak ve ancak b = 0 ise yapmaktadırlar. Dolayısıyla, eğer b ≠ 0 ise, fonksiyon genellikle afin fonksiyon olarak adlandırılır.

Boole fonksiyonları

Doğrusal bir Boole fonksiyonunun Hasse diyagramı

Boole cebrinde, lineer bir f fonksiyonu,şu şekilde var olan bir fonksiyondur. ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$, ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

Eğer, ${\displaystyle a_{0}=1}$, yukarıdaki fonksiyon lineer cebirde afin (lineer olmayan) olarak kabul edilmektedir.

Boolean işlevi, işlevin doğruluk tablosu için aşağıdakilerden biri geçerliyse doğrusaldır:

1. Fonksiyonun doğruluk değerinin T olduğu her satırda, argümanlara atanan tek sayıda Ts vardır ve fonksiyonun F olduğu her satırda argümanlara atanan çift sayıda Ts vardır. Özellikle, f(F, F, ..., F) = F, bu işlevler, Boolean vektör uzayı üzerindeki doğrusal haritalara karşılık gelmektedir.
2. Fonksiyonun değerinin T olduğu her satırda, fonksiyonun argümanlarına atanan çift sayıda T vardır. Ayrıca, fonksiyonun doğruluk değerinin F olduğu her satırda, argümanlara atanan tek sayıda T vardır.Bu durumda, f(F, F, ..., F) = T eşitliği oluşturulmaktadır.

Bunu ifade etmenin bir başka yolu da, her bir değişkenin işlemin doğruluk değerinde her zaman bir fark yaratması veya hiçbir zaman fark yaratmamasıdır. Olumsuzlama, Mantıksal iki koşullu, özel veya, totoloji ve çelişki doğrusal fonksiyonlardır.

Fizikteki yeri

Fizikte doğrusallık, birçok sistemi yöneten diferansiyel denklemlerin bir özelliğidir. Maxwell denklemleri veya difüzyon denklemi örnek olabilirler.^[3]

Homojen bir diferansiyel denklemin lineerliği, eğer iki fonksiyon f ve g denklemin çözümleri ise, o zaman herhangi bir lineer af + bg kombinasyonunun da olduğu anlamına gelmektedir.

Enstrümantasyonda doğrusallık, bir girdi değişkenindeki belirli bir değişikliğin, ölçüm cihazının çıktısında aynı değişikliği vermesi anlamına gelmektedir. Bu, bilimsel çalışmalarda oldukça arzu edilmektedir. Genel olarak, enstrümanlar belirli bir aralıkta doğrusala yakındır ve en çok bu aralıkta faydalıdır. Buna karşılık, insan duyuları oldukça doğrusal değildir. Örneğin, beyin, belirli bir mutlak foton eşiğini aşmadığı sürece gelen ışığı tamamen görmezden gelmektedir.

Elektronikteki yeri

Elektronikte, bir cihazın lineer çalışma bölgesi, örneğin bir transistör, bir bağımlı değişkenin (transistör kollektör akımı gibi) bağımsız bir değişkenle (baz akımı gibi) doğru orantılı olduğu yerdir. Bu, bir analog çıkışın, tipik olarak daha yüksek genliğe sahip (güçlendirilmiş) bir girişin doğru bir temsili olmasını sağlamaktadır. Tipik bir lineer ekipman örneği, bir sinyali dalga biçimini değiştirmeden yükseltmesi gereken yüksek kaliteli bir ses yükselticisidir. Diğerleri doğrusal filtreler, doğrusal düzenleyiciler ve genel olarak doğrusal yükselticilerdir.

Bilimsel ve teknolojik uygulamaların çoğunda, matematiksel uygulamalardan farklı olarak, bir şey, karakteristik yaklaşık olarak ancak tam düz bir çizgi değilse, doğrusal olarak tanımlanmaktadır. Doğrusallık yalnızca belirli bir çalışma bölgesi içinde geçerli olmaktadır. Örneğin, yüksek doğruluklu bir amplifikatör küçük bir sinyali bozmaktadır. Ancak kabul edilebilecek kadar az olmalıdır. (kabul edilebilir ancak kusurlu doğrusallık). Ayrıca, giriş belirli bir değeri aşarsa çok kötü şekilde bozulmaktadır.^[4]

İntegral doğrusallık

Bir miktarı başka bir niceliğe dönüştüren bir elektronik cihaz için Bertram S. Kolts şöyle yazmaktadır:^[5][6]

Yaygın kullanımda integral doğrusallık için bağımsız doğrusallık, sıfır tabanlı doğrusallık ve uç veya uç nokta doğrusallığı olaraküç temel tanım vardır. Her durumda, doğrusallık, cihazın belirli bir çalışma aralığındaki gerçek performansının düz bir çizgiye ne kadar iyi yaklaştığını tanımlamaktadır. Doğrusallık genellikle ideal bir düz çizgiden sapma veya doğrusal olmama olarak ölçülmektedir. Tipik olarak tam ölçeğin yüzdesi veya tam ölçeğin ppm (milyonda parça) cinsinden ifade edilmektedir. Tipik olarak, düz çizgi, verilerin en küçük kareler sığdırılmasıyla elde edilmektedir. Üç tanım, düz çizginin gerçek cihazın performansına göre konumlanma şekline bağlı olarak değişiklik göstermektedir. Ayrıca, bu tanımların üçü de, gerçek cihazın performans özelliklerinde mevcut olabilecek herhangi bir kazancı veya ofset hatalarını göz ardı etmektedir.

Askeriyedeki taktiksel oluşumlar

Askeri taktik oluşumlarda, "doğrusal oluşumlar", tabancacılar tarafından korunan falanks benzeri mızrak oluşumlarından başlamıştır. Giderek daha az mızrakla korunan sığ tabanca oluşumlarına doğru uyarlanmıştır. Bu tür oluşum, Wellington'un 'İnce Kırmızı Çizgi' çağında en uç noktasına kadar giderek incelmektedir. Sonunda, arkadan doldurmalı tüfeğin icadı, askerlerin herhangi bir şekilde büyük ölçekli oluşumlar tarafından desteklenmeyen küçük, hareketli birimlerde hareket etmelerine ve ateş etmelerine izin verdiğinde, yerini çatışma düzeni almıştır.

Sanattaki yeri

Doğrusal, İsviçreli sanat tarihçisi Heinrich Wölfflin tarafından "Klasik" veya Rönesans sanatını Barok'tan ayırmak için önerilen beş kategoriden biridir. Wölfflin'e göre, on beşinci ve on altıncı yüzyılın başlarındaki ressamlar (Leonardo da Vinci, Raphael veya Albrecht Dürer), on yedinci yüzyılın "resimsel" Barok ressamlarından (Peter Paul Rubens, Rembrandt ve Velázquez) daha doğrusaldır.^[7] Çünkü esas olarak şekil oluşturmak için ana hatları kullanmaktadırlar. Sanatta doğrusallığa dijital sanatta da başvurulmaktadır. Örneğin, hiper metin kurgusu doğrusal olmayan anlatıya bir örnek olmaktadır. Ancak doğrusal bir yolu izleyerek belirli, organize bir şekilde gitmek için tasarlanmış web siteleri de bulunmaktadır.

Müzikteki yeri

Müzikte doğrusal yön, eşzamanlılık veya dikey yönün aksine, aralıklı veya ardışık melodiler ile meydana gelmektedir.

Ölçüm

Ölçümde, "doğrusal ayak" terimi, genellikle genişliğe bakılmaksızın düz bir malzeme hattındaki (kereste veya kumaş gibi) ayak sayısını ifade etmektedir. Bazen "çizgisel ayaklar" olarak adlandırılmaktadırlar. Bununla birlikte, "çizgisel" tipik olarak ata veya kalıtım çizgilerini belirtmek için kullanılmaktadır.

Ayrıca bakılabilir

• Lineer aktüatör
• Doğrusal eleman
• Doğrusal sistem
• Doğrusal ortam
• Doğrusal programlama
• Lineer diferansiyel denklem
• Çift doğrusal
• Çok doğrusal
• Doğrusal motor
• Doğrusal A ve Doğrusal B komut dosyaları.
• Doğrusal enterpolasyon

Kaynakça

1. Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. s. 78. ISBN 9780817637316. 18 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Haziran 2021.
2. Stewart, James (2008). Calculus : early transcendentals. 6th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8. OCLC 144526840.
3. Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations (PDF), 2nd, 19, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943, 23 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 13 Haziran 2021
4. Whitaker, Jerry C. (2002). The RF transmission systems handbook. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1. 11 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Haziran 2021.
5. Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity" (PDF). analogZONE. 4 Şubat 2012 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Eylül 2014.
6. Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity". Foreign Electronic Measurement Technology. 24 (5): 30-31. 27 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Eylül 2014.
7. Wölfflin, Heinrich (1950). Hottinger, M.D. (Ed.). Principles of Art History: The Problem of the Development of Style in Later Art. New York: Dover. ss. 18-72.

Dış bağlantılar

• Vikisözlük'te Doğrusallık ile ilgili tanım bulabilirsiniz.