Dirac denklemi

Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan spinli ve göreli kuantum mekaniği denklemi,

${\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi } }$

şeklinde ifade edilebilir. Burada;

m_0 : parçacığın durağan kütlesini,

c : ışık hızını,

${\displaystyle p_{\mu }}$ : dörtmomentumu,

${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ : Dirac matrislerini

göstermektedir. Ayrıca ${\displaystyle \Psi }$, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:

${\displaystyle \Psi ={\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}}$

Buradaki ${\displaystyle \Psi ^{+}}$ ve ${\displaystyle \Psi ^{-}}$, Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. ${\displaystyle \Psi ^{+}}$ dönücüsü, pozitif enerjileri, ${\displaystyle \Psi ^{-}}$ negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da

${\displaystyle \Psi ^{+}={\begin{bmatrix}\psi ^{+}\\\phi ^{+}\end{bmatrix}}}$

ve

${\displaystyle \Psi ^{-}={\begin{bmatrix}\psi ^{-}\\\phi ^{-}\end{bmatrix}}}$

olarak tanımlanır. ${\displaystyle \psi }$ yukarı dönü ve ${\displaystyle \phi }$ aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;

${\displaystyle \Psi ={\begin{bmatrix}\psi ^{+}\\\phi ^{+}\\\psi ^{-}\\\phi ^{-}\end{bmatrix}}}$

şeklindedir.

Serbest parçacık için Dirac denklemi

Dırac denklemlerinde ${\displaystyle \mu =0}$ bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;

${\displaystyle \gamma ^{0}p_{0}c\mathbf {\Psi } +\gamma ^{i}p_{i}c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi } }$

biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&&I\\I&&0\end{bmatrix}}}$

ve

${\displaystyle \gamma ^{i}={\begin{bmatrix}0&&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&&0\end{bmatrix}}}$

olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\\p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c&&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}=m_{0}c^{2}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}}$

biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:

${\displaystyle \left(p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{-}=m_{0}c^{2}\Psi ^{+}}$

${\displaystyle \left(p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{+}=m_{0}c^{2}\Psi ^{-}}$

Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:

${\displaystyle p_{0}^{2}c^{2}-p_{i}^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

Burada ${\displaystyle p_{0}c=E=mc^{2}}$ ve ${\displaystyle p_{i}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=|\mathbf {p} |^{2}}$ olduğundan ifade,

${\displaystyle E^{2}-|\mathbf {p} |^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.

Elektromanyetik alanda Dirac denklemi

Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:

${\displaystyle p_{\mu }\rightarrow p_{\mu }-{\frac {e}{c}}A_{\mu }}$

denklem,

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\left(p_{\mu }c-eA_{\mu }\right)\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi } }$

biçimine gelir. Buradaki ${\displaystyle A_{\mu }}$, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür.