Bessel polinomları, matematikteki ortogonal polinomların bir dizisidir. Bessel polinomlarıyla ilgili birbirinden farklı ama birbiriyle yakından ilişkili çok sayıda tanım vardır. Matematikçiler tarafından tercih edilen tanım şu seriyle verilmektedir:[1] :101
Elektrik mühendisleri tarafından tercih edilen başka bir tanım bazen ters Bessel polinomları olarak bilinir.[2]:8 [3]:15
İkinci tanımın katsayıları birinciyle aynıdır ancak ters sıradadır. Örneğin üçüncü derece Bessel polinomu;
üçüncü derece ters Bessel polinomu ise;
Bessel elektronik filtrelerinin tasarımında ters Bessel polinomu kullanılmaktadır.
Hipergeometrik fonksiyon olarak tanım
Bessel polinomu aynı zamanda birleşik hipergeometrik fonksiyon olarak da tanımlanabilir.[5] :8
Benzer bir ifade genelleştirilmiş Bessel polinomları için de geçerlidir (aşağıya bakınız):[2]:35
Ters Bessel polinomu genelleştirilmiş bir Laguerre polinomu olarak tanımlanabilir:
buradan hipergeometrik bir fonksiyon olarak da tanımlanabileceği sonucu çıkar:
burada (− 2n)n Pochhammer sembolüdür (yükselen faktöriyel).
Diferansiyel denklem
Bessel polinomu aşağıdaki diferansiyel denkleme uyar:
ve
Diklik
Bessel polinomları ağırlığa göre diktir karmaşık düzlemin birim çemberi üzerine entegre edilmiştir.[1]:104 Başka bir deyişle, eğer ise;
Bessel polinomlarının literatürde aşağıdaki gibi bir genellemesi önerilmiştir:
karşılık gelen ters polinomlar
Açık katsayılar polinomlar şunlardır:[1]:108
Sonuç olarak, polinomlar açıkça şu şekilde yazılabilir:
Ağırlıklandırma fonksiyonu için;
ilişki için diktirler;
m ≠ n ve c için 0 noktasını çevreleyen bir eğri vardır.
α = β = 2, Bessel polinomları üzerinde özelleşir; bu durumda ρ(x) = exp(− 2 / x) olur.
Yukarıdaki diferansiyel denklemin özel çözümleri olarak Bessel polinomları için Rodrigues formülü şu şekildedir :
bu durumda a (α, β)n normalleştirme katsayılarıdır.
İlişkili Bessel polinomları
Bu genellemeye göre ilişkili Bessel polinomları için aşağıdaki genelleştirilmiş diferansiyel denkleme sahibiz:
Böylece . Çözümler şunlardır:
Eğer biri sıfırları gösteriyorsa gibi ve ile , bu durumda aşağıdaki tahminler mevcuttur:[2]:82
ve
hepsi için . Üstelik bu sıfırların hepsinin negatif reel kısmı vardır.
Polinomların sıfırlarının tahminleriyle ilgili daha güçlü teoremlere (daha somut olarak Saff ve Varga'nın Parabol Teoremi veya diferansiyel denklem teknikleri) başvurulursa daha keskin sonuçlar söylenebilir.[2]:88[6] Sonuçlardan biri şudur:[7]
H. L. Krall ve O. Frink (1948). "A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials". Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1): 100-115. doi:10.2307/1990516. Grosswald, E. (1978). Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics). New York: Springer. ISBN 978-0-387-09104-4. Saff, E. B.; Varga, R. S. (1976). "Zero-free parabolic regions for sequences of polynomials". SIAM J. Math. Anal. 7 (3): 344-357. doi:10.1137/0507028. de Bruin, M. G.; Saff, E. B.; Varga, R. S. (1981). "On the zeros of generalized Bessel polynomials. I". Indag. Math. 84 (1): 1-13.
"Sloane's A001498 ", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Michael Filaseta ve Ognian Trifinov (Ağustos 2, 2002). "The Irreducibility of the Bessel Polynomials". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 2002 (550): 125-140. doi:10.1515/crll.2002.069.