Bölme kuralı

Bölme kuralı, kalkülüste diğer iki fonksiyonun bölümü şeklinde olan bir fonksiyonun türevinin hesaplanmasında kullanılır.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}}$

İspat

Çarpma kuralı kullanılarak aynı ifade yeniden yazılıp çözüme geçilirse,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\frac {d}{dx}}(fg^{-1})&=f'g^{-1}+f(g^{-1})'\\&=f'g^{-1}+f(-1)g^{-2}g'\\&={\frac {g^{2}}{g^{2}}}\left(f'g^{-1}-fg^{-2}g'\right)\\&={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\\\end{alignedat}}}$

ispatı yapılır. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus ${\displaystyle (g^{-1})'\,}$ türevi hesaplanırken zincir kuralı kullanılmış olduğudur.

Örnekler

${\displaystyle (4x-2)/(x^{2}+1)}$ ifadesinin türevi:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}$

Yukardaki örnekte

${\displaystyle g(x)=4x-2}$

${\displaystyle h(x)=x^{2}+1}$

olarak seçmiştik. Benzer bir şekilde (x ≠ 0 iken) sin(x)/x² ifadesinin türevi aynı yöntemi kullanarak:

${\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}$

olarak bulunur.