Arf değişmezi

Arf değişmezi, Cahit Arf'ın matematik alanında yaptığı dünyaca kabul görmüş matematiksel değerdir. Cisimlerin kuadratik formlarının sınıflandırılması üzerine yaptığı çalışmada bulduğu formüldür. Matematikte yapmış olduğu temel şeylerden biridir.

10 Türk Lirasının üzerinde; “Arf Değişmezi”nden alınan bir kesitin yanı sıra “aritmetik diziler, abaküs, sayılar ve bilgisayar teknolojisinin temeli olan sayısal sistemi belirten ikili (Binary) sayı sistemini ifade eden rakamlar yer almaktadır.

Açıklama

Arf değişmezi, bir kuadratik formun özelliklerini tanımlayan teorik değerdir ve şu şekilde ifade edilir: ${\textstyle f(x_{1},x_{2},x_{3},..,x_{n})}$ kuadratik formu ele alındığında Arf değişmezi, bu formun sınıflandırılmasına yardımcı olmak için bir değişmez değer olarak hesaplanır.

Arf değişmezi, formun indirgenemez parçalarına ve bu parçaların karekökleriyle ilişkisine dayanır. Teorik ifadesiyle, formun iki kuadratik forma ayrıştırılmasını ve bu parçalar üzerindeki bazı karakteristik hesaplamaları içerir. Bu, matematiksel olarak Hasse-Arf teoremiyle de ilişkilidir. Karakteristik olmasının altında yatan sebep ise, kullanılan cisim ve o cismin kendine has özelliklerinden dolayı değişiklik göstermesindendir.

Teorik Açıklama

Arf değişmezi, 10 Türk Lirasının da üzerinde bulunduğu gibi genelde, ${\displaystyle Arf(Q):\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}$ şeklinde tanımlanır. ${\displaystyle a_{i},b_{i}}$ ise kuadratik formun katsayılarıdır. Eğer bu katsayılar, Sonlu cisimlerde tanımlı ise: Kuadratik form bir ${\textstyle {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}}$(p asal) cisminin üzerinde tanımlıysa, ${\displaystyle a_{i},b_{i}}$ bu cismin elemanlarıdır ve genelde mod işleminden geçerler.

Bu durum dışında, genelde katsayılar Tam sayıdır.

Kaynakça

• TCMB
• Tübitak, Turgut Önder Yazısı
• Tübitak, Cahit Arf anısına hazırlanmış sayfa