Liouville sayısı
From Wikipedia, the free encyclopedia
Sayılar teorisinde Liouville sayıları, rasyonel sayılara sonsuz küçük yakınlıkta (hatta paydaya bağımlı biçimde) irrasyonel sayılardır. Bir Liouville sayısının her komşuluğunda bir rasyonel sayı vardır. Şu şekilde formüle edilebilir:
bir Liouville sayısı olsun. O zaman her
sayma sayısı (pozitif tam sayı) için öyle bir tam sayı
ve sayma sayısı
vardır ki,
Bir Liouville sayısı böylece çok yakından rasyonel sayıların bir dizisi ile yakınsanabilir. 1844'te, Joseph Liouville gösterdi ki tüm Liouville sayıları aşkın sayılardır. O zamana kadar herhangi bir aşkın sayının varlığı henüz ispatlanmamıştı. Liouville, bir sayı tabanı için (örneğin 10) Liouville sabitlerini aşağıdaki gibi üretti. Her Liouville sabiti, bir Liouville sayısıdır, dolayısıyla aşkındır.
Liouville sayıları kümesi bir yandan büyüktür, sayılamaz sayıda (reel sayılar kadar) Liouville sayısı vardır; bir yandan da küçüktür, Lebesgue ölçüleri sıfırdır, dolayısıyla bu küme üzerinde integrallenebilir her pozitif fonksiyonun integrali sıfıra eşittir.