Kapasite (elektrik)

Kapasite veya diğer adıyla sığa, bir cismin elektrik yükü depo etme yeteneğidir. Elektrikle yüklenebilen her cisim sığa barındırmaktadır. Enerji depolama aracının en yaygın formu paralel levhalı sığaçlardır. Paralel levhalı sığaçta, sığa iletken levhanın yüzey alanıyla doğru orantılıdır ve levhalar arasındaki uzaklığın ayrımıyla da ters orantılıdır. Eğer levhaların yükleri +q ve –q ise ve V levhalar arasındaki voltajı veriyorsa, sığa C şu şekildedir;

${\displaystyle C={\frac {q}{V}}.}$

Bu da voltaj/akım ilişkisini verir

${\displaystyle I(t)=C{\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}.}$

Sığa, iletkenlerin ve yalıtkan maddelerin dielektrik geçirgenliklerinin yalnızca fiziksel boyutlarının (geometri) bir fonksiyonudur. İletkenler ve onların toplam yükleri arasındaki ilişkinin potansiyel farkından bağımsızdır.

Uluslararası Birimler Sistemi’nin kapasite birimi faraddır (simgesi: F), İngiliz fizikçi Michael Faraday’ın adıyla anılmaktadır. 1 farad sığaç, 1 coulomb elektrik yükü ile yüklendiğinde, levhaları arasındaki potansiyel bir fark 1 volt olur.^[1] Tarihsel olarak, bir farad elektriksel ve fiziksel olarak elverişsiz büyüklüğe sahip bir birim olarak kabul edilirdi. Onun alt bölümleri her zaman kullanılır, mikrofarad, nanofarad ve pikofarad olarak adlandırılırdı. Yakın zamanlarda, teknoloji 1 faradlık sığaçlar üretti ve daha da gelişmiş modeli bir pilden bile daha küçük olacak şekilde oluşturdu. Bu tip sığaçlar genellikle daha geleneksel pillerin yerine, enerji depolamak için kullanılır.

Sığaçta birikmiş enerji (joule ile ölçülen), enerji yüklemek için yapılan işe eşittir. Sığası C olan, bir tarafında +q diğer tarafında –q olan bir sığaç düşünün. Dq gibi bir yükün küçük bir elementini bir taraftan diğer tarafa yani potansiyeli farklı olan levhaya taşıdığımızda V= q/C denklemini kullanırız. Bu dW'yi yani burada yapılan işi verir:

${\displaystyle \mathrm {d} W={\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q}$

W (joule) ile ölçülen iş, q (coulomb) yük ve C (farad) kapasitedir.

Sığaçta biriken enerji bu denklemin tümlevlenmesiyle bulunmuştur. Yüksüz sığa ile başlayan (q=0) hareketli yük bir taraftan diğer levhaya, levhalar +Q ve -Q yüküne sahip olana kadar bir W işi yapar:

${\displaystyle \mathrm {d} W={\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q}$

Sığaçlar

Elektronik devrelerde kullanılan çoğu sığacın sığası genellikle faraddan düşük büyüklüğe sahiptir. Sığanın günümüzde kullanılan en yaygın alt birimleri mikrofarad (µF), nanofarad (nF), pikofarad (pF) ve mikrodevrelerinden femtofaraddır (fF). Ancak, özellikle üretilen süpersığaçlar bunlardan daha büyük olabilir (yüzlerce farad kadar) ve parazit kapasitiv elementleri bir femtofaraddan bile küçük olabilir.

Anahtarlı kapasite gibi daha kompleks elektronik devre elemanlarının da temel unsurudur.

Eğer iletkenlerin geometrileri ve iletkenler arasındaki yalıtkanların dielektrik özellikleri biliniyorsa, sığa ölçülebilir. Örneğin, iki paralel plakadan oluşan, her birinin alanı A, aralarındaki uzaklık d olan paralel levhalı sığaç yaklaşık olarak şuna eşittir:

${\displaystyle \ C=\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}{\frac {A}{d}}}$

C (Farad) sığa, A metrekarede iki plakayı da örten alan εr plakalar arasındaki materyalin (bir vakum için, εr = 1) bağıl yalıtkanlık sabiti (bazen dielektrik sabiti olarak da geçer) ε0 elektrik sabiti (ε0 ≈ 8.854×10−12 F m–1) ve d (metre) plakalar arasındaki uzaklıktır.

Sığa, alan ile doğru, iletken levhaların arasındaki uzaklıkla da ters orantılıdır. Levhalar birbirine ne kadar yakın olursa, sığaları o kadar büyük olur. Eğer d levhaların diğer boyutları ile karşılaştırıldığında küçükse ve bu yüzden alanın büyük çoğunluğundaki sığacın alanı aynıysa ve dış alan çevresindeki kısım küçük bir katkı sağlarsa, bu denklem iyi bir tahmindir denebilir. C.G.S birim sisteminde bu denklem şu şekildedir:^[2]

${\displaystyle C=\varepsilon _{r}{\frac {A}{4\pi d}}}$

C bu durumda uzunluk birimine sahiptir. Sığa için Uluslararası Birimler Sistemi denklemi, bir sığaçtaki enerji stoğu denklemini gösteren denklemle birleştirildiğinde, düz plaka sığacı için depolanan enerji:

${\displaystyle W_{\text{stored}}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}{\frac {A}{d}}V^{2}.}$

W (joule) enerji, C (farad) kapasite ve V (volt) voltajdır.

Voltaj Kontrollü Sığaçlar

Oldukça kullanışlı birtakım yalıtkan maddenin dielektrik sabiti elektriksel alana göre değişebilir. Ferroelektrik materyaller bunlara örnektir. Bu materyaller için sığa daha karmaşıktır. Örneğin, bu tip bir şarj ile voltaj artışı farklı olan sığacı şarj ederken hesaplamalar için şu denklemi kullanırız:

${\displaystyle \ dQ=C(V)\,dV}$

Burada voltaj sığadan bağımsızdır, C (V), geniş bir paralel levha alanından çıkan kollar ε = V/d denklemiyle verilir. Bu alan yalıtkan maddeyi kutuplaştırır. Ferroelektrik durumunda kutuplaşma, alanın doğrusal olmayan S şekilli fonksiyonudur. Ki bu fonksiyon geniş alanlı paralel levhalı aletlerde, manyetik alana sebep olan voltajın doğrusal olmayan fonksiyonuna, yani sığaya dönüşür.^[3][4]

Voltaj kontrollü sığaçlarda, sığacı voltaj V ile yüklemek için şu integral denklemi bulunmuştur:

${\displaystyle Q=\int _{0}^{V}C(V)\,dV\ }$

Q=CV yalnızca C voltajdan bağımsız olduğu zaman kabul edilir.

Aynı şekilde, sığaçlarda toplanan enerji:

${\displaystyle dW=Q\,dV=\left[\int _{0}^{V}\ dV'\ C(V')\right]\ dV\ .}$

Tümlevlenirse:

${\displaystyle W=\int _{0}^{V}\ dV\ \int _{0}^{V}\ dV'\ C(V')=\int _{0}^{V}\ dV'\ \int _{V'}^{V}\ dV\ C(V')=\int _{0}^{V}\ dV'\left(V-V'\right)C(V')\ ,}$

İğne mikroskobunun ferroelektrik düzey tarafından taranan, doğrusal olmayan sığası, ferroelektrik materyallerinin yapısında çalışmak için kullanılır.^[5]

Voltaj kontrollü sığaçların diğer bir örneği, yarı iletken diyotlar gibi yarı iletken maddelerde meydana gelir. Bu maddelerde voltaj kontrollü kısımlar yalnızca dielektrik sabitinin değişiminden değil, aynı zamanda sığacın iki tarafındaki yüklerin arasındaki boşluktan da meydana gelir.^[6] Bu etki varaktörler gibi diyota benzer araçların kasten sömürülmesidir.

Frekansa Bağımlı Sığaçlar

Eğer sığaç yeterli hızda değişen bir voltaj tarafından çalıştırılırsa, dielektrik kutuplaşırken bir sinyal takip edemez. Bu mekanizma kökenli bir örnek olarak, dielektrik sabitinin hemen hareket etmemesini sağlayan içsel mikroskobik dipolarlardır, bu uygulanan alternatif voltajın sıklığı arttığında, dipolun yanıtı kısıtlanır ve dielektrik sabiti yok olur. Frekansla değişen dielektrik sabiti dielektrik dağılımı olarak adlandırılır ve Debye gevşemesi gibi bir dielektrik gevşemesi süreci tarafından yönetilir. Geçici şartlar altında, yer değiştirme alanı:

${\displaystyle {\boldsymbol {D(t)}}=\varepsilon _{0}\int _{-\infty }^{t}\ \varepsilon _{r}(t-t'){\boldsymbol {E}}(t')\ dt',}$

εr zamanına bağımlı gecikme, mikroskobik analizlerin prensipleri göz önünde bulundurularak hesaplanır. Örneğin, lineer tepki fonksiyonu.^[7][8] Bu integral geçmişten günümüze kadar olan bütün süreyi kapsar. Zamandaki Fourier dönüşümü şu şekilde sonuçlanır:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}(\omega )=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\omega ){\boldsymbol {E}}(\omega )\ ,}$

Buradaki εr(ω) ortadaki alandan emilen enerjiyle bağıntılı hayali kısımdır, yani kompleks bir fonksiyondur. Dielektrik sabiti ile orantılı olan sığa ise aynı zamanda frekans davranışını gösterir. Yer değiştirme alanını bulmak için Fourier Gauss yasasını dönüştürerek şu denklemi elde etmiştir:

${\displaystyle I(\omega )=j\omega Q(\omega )=j\omega \oint _{\Sigma }{\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {r}},\ \omega )\cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}\ }$

${\displaystyle =\left[G(\omega )+j\omega C(\omega )\right]V(\omega )={\frac {V(\omega )}{Z(\omega )}}\ ,}$

Buradaki j sanal birim, V(ω) açısal hız ω'nin voltaj bileşeni, G(ω) akımın iletkenlik olarak adlandırılan gerçek kısmı ve C(ω) akımın sanal kısmına karar veren sığadır. Z(ω) karmaşık bir dirençtir.

Paralel levhalı bir sığaç dielektrik ile yüklendiğinde, ortamın dielektrik özelliklerinin ölçümü şu ilişkiye dayanır:

${\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=\varepsilon '_{r}(\omega )-j\varepsilon ''_{r}(\omega )={\frac {1}{j\omega Z(\omega )C_{0}}}={\frac {C_{\text{cmplx}}(\omega )}{C_{0}}}\ ,}$

Birinci dereceden εr(ω) gerçek kısmı, ikinci dereceden εr(ω) sanal kısmı, Z(ω) dielektrikle beraber karmaşık bir direnci, Ccmplx(ω) dielektrikle beraber karmaşık bir sığayı ve C0 dielektriksiz sığayı verir.^[9][10] (Dielektriksiz denen ölçüm, boş alandaki ölçüm demektir, aynı zamanda kuantum vakumu, çift renklilik gibi ideal olmayan davranış sergiliyormuş gibi varsayılması da erişelemez bir hedeftir. Pratik amaçlar için, ölçüm hataları dikkate alındığında, özellikle karasal vakumların ölçümü veya kısaca C0 ın ölçümü yeteri kadar doğrudur.^[11])

Bu ölçüm metodu kullanıldığında, dielektrik sabit; destekçilerinin karakteristik sıklıklarına (uyarım enerjileri) karşı yanıt veren belirli sıklığa sahip rezonans özellikleri gösterebilir. Bu rezonanslar, kusurları tespit edebilmek için kullanılan temel deneysel tekniklerdir. İletkenlik metodu, soğurmayı bir frekans fonksiyonu olarak ölçer. Alternatif olarak, sığanın zaman yanıtı derin seviyeli geçici spektroskopide olduğu gibi, direkt olarak kullanılabilir.

Frekans bağlı sığaların diğer bir örneği MOS sığaçlarda meydana gelir, azınlık yüksek taşıyıcıların yavaş jenerasyonu anlamına gelen yüksek frekanslı sığalar sadece çoğunluğun taşıma yanıtını ölçer, düşük frekanstakiler ise her iki tür taşıyıcı yanıtını ölçer.

Optik frekanslarda, yarı iletkenlerin dielektrik sabiti katı cismin kuşak yapısının özelliklerini gösterir. Baskıyla ya da diğer etkilerle oluşan kristal yapıyı değiştirerek ve ışığın emme ya da yansıtmadaki değişimleri gözlemlenerek elde edilen komplike değişim spektroskopi ölçüm metodu, bu tip materyaller hakkındaki bilgimizi artırmaktadır.

Sığa Matrisi

Yukarıdaki tartışma, ebatları ve şekilleri fark etmeksizin iki iletken levha durumu ile sınırlıdır. C=Q/V denklemi de yüke verilen tek bir levha ile sınırlıdır, bu yük tarafından üretilen durumun alan sınırları, levhayı karşı yükle yüklenmiş kürenin sonsuzluktaki merkezde sonlanmış gibidir.

C=Q/V denklemi ortamda ikiden fazla yüklenmiş levha varsa uygulanamaz veya iki levhanın da net yükü sıfırdan farklıysa da uygulanamaz. Bu durumun üstesinden gelebilmek için, Maxvell potansiyelin katsayılarını tanıtmıştır. Eper 3 levha Q1, Q2, Q3 yüklerindeyse ve levhanın voltajı 1 ise;

${\displaystyle V_{1}=P_{11}Q_{1}+P_{12}Q_{2}+P_{13}Q_{3},}$

Ve benzer şekilde diğer voltajlar için de bu geçerlidir. Hermann von Helmholtz ve Sir William Thomson göstermiştir ki potansiyelin katsayıları simetriktir,${\displaystyle P_{12}=P_{21}}$ denklemde olduğu gibi. Bu yüzden, bu sistem esneklik matrisi ya da karşılıklı sığa matrisi olarak bilinen katsayıların toplanması olarak tanımlanabilir:

${\displaystyle P_{ij}={\frac {\partial V_{i}}{\partial Q_{j}}}}$

Buradan, iki nesne arasındaki ortak sığa ${\displaystyle C_{m}}$ Q nun toplam yükünü çözmek için kullanılabilir. .

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{(P_{11}+P_{22})-(P_{12}+P_{21})}}}$

Hiçbir gerçek araç kusursuz bir şekilde eşit tutamadığı ve her bir levhanın zıt yükleri olduğu için, ortak sığa sığaçta gösterilen sığadır.

Katsayıların toplamı ${\displaystyle C_{ij}={\frac {\partial Q_{i}}{\partial V_{j}}}}$ sığa matrisi olarak bilinir ve esneklik matrisinin zıddıdır.

Öz Sığa

Elektriksel devrelerde, sığa terimi sığacın iki plakası gibi iki bitişik iletkenin ortak sığasının stenografisidir. Ancak, izole bir iletken için, öz sığa denen bir terim vardır, bu terim izole iletkenin elektriksel potansiyelini bir birim (en yaygın ölçü birimlerinde, bir volt) artırmak için iletkene yüklenmesi gereken elektriksel yük demektir. Bu potansiyelin referans noktası teorik olarak ortası delik iletken bir küredir, kürenin sonsuz yarıçapı, iletkenin merkezindedir. Bu metodu kullanarak, iletken kürenin yarıçapının (R) öz sığası şu şekildedir:

${\displaystyle C=4\pi \varepsilon _{0}R\,}$

Öz sığanın diğer örnekleri:

- Van de Graaff jeneratörünün üst levhası, genellikle yarıçapı 20 cm olan küre: 22.24 pF

- Dünya gezegeni, yaklaşık 710 µF

Yüksek frekanslarda direnci değişen ve paralel rezonansı yükselten bir bobinin dönemeçli iç kapasitesi, genelden farklı olarak öz sığa, tesadüfi sığa ya da parazit sığa şeklinde adlandırılır.

Esneklik

Sığanın karşıtı esneklik olarak adlandırılır. Esneklik birimi daraftır, ancak Uluslararası Birimler Sistemi tarafından tanımlanmamıştır.

Kaçak Sığa

Herhangi bitişik iki iletken sığaç olarak düşünülebilir, ancak eğer iletkenler birbirlerine çok uzak mesafelerde ya da geniş alanlarda yakınlarsa, sığa küçük bir birimdir. Bu etki (genellikle istenmeyen) “kaçak sığa” olarak adlandırılmıştır. Kaçak sığa, izole edilmiş devrelerin (yan ses olarak adlandırılan bir etki) arasından sızan sinyallerin geçişine izin verebilir ve devirlerin yüksek frekanslardaki düzgün işleyişlerini kısıtlayan bir faktör olabilir.

Kaçak sığa, giriş ve çıkış noktalarının (her ikisi de ortak paydada birbirine yakın olarak ifade edilir) bağlanması anlamına gelen geri bildirim sığası formundaki kuvvetlendirici devrelerle karıştırılmaktadır. Bu, genellikle sığayı çıkıştan yere ve girişten yere olan sığanın kombinasyonuyla yer değiştirmedeki analitik amaçlar için uygundur. Orijinal gruplaşma, -giriş ve çıkış sığalarınıda içeren- genellikle pi-gruplaşması olarak ifade edilir. Miller'in teoremi bu yer değiştirmeyi etkilemek için kullanılır. Bu gösterir ki, eğer iki noktanın kazandığı oran 1/K ise, iki noktaya bağlı Z'nin direnci, ilk nokta ile yerdeki Z/(1-k) direnci ve yer ile ikinci nokta ve yer arasındaki KZI(K-1) kazancı ile yer değiştirebilir. Dirençler, sığada zıt şekillerde çeşitlilik gösterdiği için, boğum sığası, C, yerden gelen girdinin KC sığası ve yerden çıkan (K-1)C/K sığasıyla yer değiştirebilir. Girdi-çıktı kazanımı çok fazla olduğu zaman, bu denklikte, yerden gelen girdinin direnci çok düşük olurken, yerden çıkan direnç gerçekte orijinal (girdi-çıktı) dirence eşit olur.

Basit Sistemlerin Sığaları

Bir sistemin sığasını hesaplamak, Laplace denkleminde ∇2φ = 0 iletkenin yüzeyindeki φ nin anlık potansiyelini ölçmekle aynıdır. Bu, yüksek simetrili durumlarda önemsiz bir noktadır. Daha karmaşık durumlardaki yalın işlevler bakımından bir sonuca sahip değildir.

Yarı iki boyutlu durumların analitik fonksiyonları için, farklı geometrik şekilleri bir arada haritalandırmak için kullanılabilir. Ayrıca Schwarz-Christoffel haritalandırmasına bakılabilir.

Nanoölçekli Sistemlerin Sığaları

Nicem noktaları gibi nanoölçekli dielektrik sığaçların sığaları, geniş sığaçların geleneksel formüllerinden farklı olabilir. Özellikle, geleneksel sığaçlardaki elektronlar tarafından deneyimlenen elektrostatik potansiyel farkı, geleneksel sığaçların istatistiksel olarak büyük sayılara sahip elektronlarının yanı sıra, mekânsal olarak iyi tanımlanmıştır ve metalik elektrotların şekil ve boyutları açısından sabitlenmiştir. Ancak nanoölçekli sığaçlarda, elektronlar tarafından deneyimlenen elektrostatik potansiyel, aletin elektronik özelliklerine katkı sağlayan bütün elektronların yerlerine ve sayılarına göre belirlenmiştir. Bu tip aletlerde, elektronların sayıları çok az olabilir, ancak aletin içindeki eşit potansiyelli yüzeylerin mekânsal dağıtımlarının sonucu oldukça karmaşıktır.

Tek Elektronlu Aletler

Bağlı veya örtük tek elektronlu aletlerin sığası, birbirine bağlı olmayan veya açık olan tek elektronlu aletlerin iki katıdır. Bu gerçek, esasen tek elektronlu aletlerin depolanan enerjilerinde görülebilir ki bu aletlerin “direkt kutuplaşma” ilişki enerjisi elektronların aletlerdeki kutuplaşmış yüklerle ilişkilerinin eşit olarak bölünmesi olabilir. Bunun sebebi, elektronların varlığı ve alet üzerinde kutuplaşma yükü oluşturmak için gereken potansiyel enerjini miktarıdır.

Az Elektronlu Aletler

Kuantum sığasının az elektronlu aletlere dönüşümü N-partikül sisteminin termodinamik kimyasal potansiyelini içerir:

${\displaystyle \mu (N)=U(N)-U(N-1)}$

Buradaki enerji terimleri Schrödinger denkleminin sonuçlarından elde edilmiş olabilir. Sığanın tanımı:

${\displaystyle {1 \over C}\equiv {\Delta \,V \over \Delta \,Q}}$,

Potansiyel farkla birlikte

${\displaystyle \Delta \,V={\Delta \,\mu \, \over e}={\mu (N+\Delta \,N)-\mu (N) \over e}}$

Bireysel elektronların eklenmesi ya da kaldırılmasıyla alete uygulanabilir,

${\displaystyle \Delta \,N=1}$ ve ${\displaystyle \Delta \,Q=e}$.

${\displaystyle C_{Q}(N)={e^{2} \over \mu (N+1)-\mu (N)}={e^{2} \over E(N)}}$

Daha sonra Bu denklem, aletin kuantum sığasıdır. Kuantum sığası ifadesi şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle C_{Q}(N)={e^{2} \over U(N)}}$

Ki bu başlangıç kısmında verilen ${\displaystyle W_{\text{stored}}=U}$ geleneksel tanımlardan ayrılır, depolanmış elektrostatik potansiyel enerji;

${\displaystyle C={Q^{2} \over 2U}}$

1/2 faktörü ve Q=N e ile birlikte. ${\displaystyle Q=Ne}$. Ancak, tamamen klasik elektrostatik etkileşim sistemi içinde, 1/2 faktörünün görünümü geleneksel formülün tümlevlenmesinin bir sonucudur:

${\displaystyle W_{\text{charging}}=U=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q}$

İster birçok elektron, isterse metalik elektrokot içeren sistemler için ${\displaystyle \mathrm {d} q=0}$ olduğundan bu uygun bir durumdur, ancak az elektronlu sistemlerde, ${\displaystyle \mathrm {d} q\to \Delta \,Q=e}$ . Integral genellikle toplama dönüşmektedir. Bir tanesi sığanın tanımları ve elektrostatik etkileşim enerjisi ile önemsiz bir şekilde kombinasyon oluşturabilir,

${\displaystyle Q=CV}$ ve ${\displaystyle U=QV}$,

Sırasıyla elde etmek için,

${\displaystyle C={Q \over V}=Q{Q \over U}={Q^{2} \over U}}$

Ki bu da kuantum sığasına benzerdir. Daha özenli türetmeler literatürde yer almaktadır. Özellikle, aletler içindeki mekânsal olarak karışık eşit potansiyelli yüzeylerin matematiksel zorluklarını alt edebilmek için, her bir elektron tarafından deneyimlenen ortalama elektrostatik potansiyeli türemede kullanılmıştır.

Görünürdeki matematiksel farklılıkların sebebi daha temel olarak, enerji şeklinde anlaşılabilir ${\displaystyle U(N)}$ izole edilmiş bir aletin enerjisi şeklinde N=1. As N düşük limite sahip “bağlı” aletlerde depolanmış enerjinin iki katıdır. N giderek büyüdüğü için ${\displaystyle U(N)\to U}$. Bu yüzden, sığanın genel tanımı:

${\displaystyle C(N)={(Ne)^{2} \over U(N)}}$.

Nicem noktaları gibi nanoölçekli aletlerde, sığaç aletlerin genellikle izole edilmiş ya da kısmen izole edilmiş bileşenleridir. Nanoölçekli sığaçlar ve makroskobik (geleneksel) sığaçların temel farkları elektron fazlalıkları (yük taşıyıcı veya aletin elektronik davranışını şekillendiren elektronlar) ve şekil ile metalik elektrotların ebatlarıdır. Nanoölçekli aletlerde, metal atomlarından oluşan nanoteller, makroskobiklerde, kitle malzemelerinde ya da benzerlerinde olduğu gibi üretken özellikler göstermez.

Kaynakça

1. "Arşivlenmiş kopya". 27 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Haziran 2014.
2. The Physics Problem Solver, 1986, Google books link 16 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
3. Carlos Paz de Araujo, Ramamoorthy Ramesh, George W Taylor (Editors) (2001). Science and Technology of Integrated Ferroelectrics: Selected Papers from Eleven Years of the Proceedings of the International Symposium on Integrated Ferroelectrics. CRC Press. Figure 2, p. 504. ISBN 90-5699-704-1. 2 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Haziran 2014.KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link) KB1 bakım: Fazladan yazı: yazar listesi (link)
4. Solomon Musikant (1991). What Every Engineer Should Know about Ceramics. CRC Press. Figure 3.9, p. 43. ISBN 0-8247-8498-7. 2 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Haziran 2014.
5. Yasuo Cho (2005). Scanning Nonlinear Dielectric Microscope (in Polar Oxides; R Waser, U Böttger & S Tiedke, editors bas.). Wiley-VCH. Chapter 16. ISBN 3-527-40532-1. 17 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Haziran 2014.
6. Simon M. Sze, Kwok K. Ng (2006). Physics of Semiconductor Devices (3rd Edition bas.). Wiley. Figure 25, p. 121. ISBN 0-470-06830-2. 21 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Haziran 2014.KB1 bakım: Fazladan yazı (link)
7. Gabriele Giuliani, Giovanni Vignale (2005). Quantum Theory of the Electron Liquid. Cambridge University Press. s. 111. ISBN 0-521-82112-6. 23 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Haziran 2014.
8. Jørgen Rammer (2007). Quantum Field Theory of Non-equilibrium States. Cambridge University Press. s. 158. ISBN 0-521-87499-8. 26 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Haziran 2014.
9. Horst Czichos, Tetsuya Saito, Leslie Smith (2006). Springer Handbook of Materials Measurement Methods. Springer. s. 475. ISBN 3-540-20785-6. 2 Haziran 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Haziran 2014.KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)
10. William Coffey, Yu. P. Kalmykov (2006). Fractals, diffusion and relaxation in disordered complex systems..Part A. Wiley. s. 17. ISBN 0-470-04607-4. 2 Haziran 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Haziran 2014.
11. J. Obrzut, A. Anopchenko and R. Nozaki, "Broadband Permittivity Measurements of High Dielectric Constant Films" 9 Mart 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Proceedings of the IEEE: Instrumentation and Measurement Technology Conference, 2005, pp. 1350–1353, 16–19 May 2005, Ottawa ISBN 0-7803-8879-8 DOI:10.1109/IMTC.2005.1604368

Dış bağlantılar

• Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light (4th ed.). W. H.

Freeman. ISBN 1-57259-492-6

• Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
• Saslow, Wayne M.(2002). Electricity, Magnetism, and Light. Thomson Learning. ISBN 0-12-619455-6. See Chapter 8, and especially pp. 255–259 for coefficients of potential.