Gerçek anomali

Gerçek anomali, gök mekaniğinde Kepler yörüngesinde hareket etmekte olan bir cismin pozisyonunu belirleyen açısal bir parametredir. Gerçek anomali, bir yörüngedeki çeşitli noktaların konumlarını tanımlamak için kullanılan bir terimdir.^[1] Enberi noktası yönü ile elipsin ada odağından görünen cismin mevcut konumu yani nesnenin etrafında döndüğü nokta arasındaki açıyı göstermektedir.

P noktasının gerçek anomalisi f açısıdır. Elipsin merkezi C noktasıdır ve odak noktası F noktasıdır.

Gerçek anomali genellikle ν ya da θ Yunan harfleri veya f sembolüyle gösterilmekte olup, sıklıkla 0-360° (0–2π^c) ölçeğinde sınırlanmıştır.

Gerçek anomali f yörünge üzerindeki bir pozisyonu tanımlayan üç açısal parametre/anomalilikten birisidir. Kalan diğer iki anomalilik ise dışmerkezlik anomalisi ve ortalama anomali/ayrıklıktır.

Formüller

Durum vektörlerinden

Eliptik yörüngeler için gerçek anomali yörünge durum vektörlerinden şu şekilde hesaplanabilir:

${\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(eğer r ⋅ v < 0 ise ν 2π − ν ile değiştirilir.)

Bu hesaplamada;

• v, yörüngedeki cismin yörünge hız vektörü,
• e dışmerkezlik vektörüdür,
• r, yörüngedeki cismin yörünge konum vektörüdür (şekilde FP bölgesi).

Dairesel yörünge

Dairesel yörüngeler için gerçek anomali değeri tanımsızdır. Bunun nedeni dairesel yörüngelerin tanımlı bir enberi noktası bulunmamasıdır. Bunun yerine enlem açısı u parametresi kullanılır:

${\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(eğer r_z < 0 ise u 2π − u olarak değiştirilir.)

Bu hesaplamada:

• n, yükselen düğüm açısına kadar olan bir vektördür (yani n'nin z bileşeni sıfırdır).
• r_z , yörünge konum vektörü olarak gösterilen r'nin z bileşenidir

Dairesel yörüngeler için enlem açısının sıfır eğimliliği de tanımsızdır. Bunun nedeni düğüm noktalarının parametrelerinin tanımlanamamasıdır. Bu durumda gerçek boylam değeri kullanılır:

${\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}$

(eğer v_x > 0 ise l 2π − l olarak değiştirilir.)

Bu hesaplamada:

• r_x, yörünge konum vektörü olarak gösterilen r'nin x bileşenidir
• v_x, yörünge hız vektörü olarak gösterilen v'nin x bileşenidir.

Eksantrik (dış merkezlik) anomaliden

Gerçek anomali ν ile eksantrik anomali ${\displaystyle E}$ arasındaki ilişki şöyledir:

${\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}$

veya sinüs ^[2] ve tanjant kullanılarak:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}$

ya da buna eşit olan:

${\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}$

böylece

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}$

formülü elde edilir.

Diğer bir ifadeyle, bu eşitliğin bir türü sayısal sorunlardan kaçınılarak türetilmektedir.^[3] Argümanlar yani açılar birbirine yakın olduğunda, iki teğet sonsuz hale gelmektedir. İlave olarak, ${\displaystyle {\frac {E}{2}}}$ ve ${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$ her durumda aynı çeyreklikte olacağından dolayı herhangi bir işaret sorunu yaşanmaz.

${\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}$ Neresi ${\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}$

böylece

${\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}$

formülü elde edilir.

Ortalama anomaliden

Gerçek anomali Fourier serisi kullanılmak suretiyle doğrudan doğruya ortalama anomaliden:

${\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}}$

Bessel fonksiyonu ve ${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$ parametresiyle birlikte türetilebilmektedir.^[4]

${\displaystyle e^{4}}$ veya daha yüksek (${\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$ ) şekilde verilen tüm varsayımlar göz ardı edilirse,^[4][5][6] aşağıdaki şekilde de yazılabilir.

${\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}$

Tutarlılık nedeniyle bu biçimdeki bir hesaplamanın dış merkezlik değerinin küçük olduğu durumlarda sınırlı olduğu unutulmamalıdır.

${\displaystyle \nu -M}$ ifadesi merkez denklemi olarak bilinmektedir ki burada genişlemeye ilişkin daha fazla ayrıntıya yer verilmiştir.

Gerçek anomaliden yarıçap bulunması

yörüngedeki cisim ile çekim odağı arasındaki mesafe olarak tanımlanan yarıçap aşağıdaki formül kullanılarak gerçek anomali değerinden elde edilebilir:

${\displaystyle r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!}$

Bu hesaplamada yer alan a değeri yarı büyük ekseni ihtiva etmektedir.

Ayrıca bakınız

• Kepler'in gezegensel hareket yasaları
• Eksantrik anomali
• Ortalama anomali
• Elips
• Hiperbol

Kaynakça

1. "Planetary Orbits - NASA Science". science.nasa.gov (İngilizce). 13 Kasım 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Kasım 2023.
2. Fundamentals of Astrodynamics and Applications by David A. Vallado
3. Broucke, R.; Cefola, P. (1973). "A Note on the Relations between True and Eccentric Anomalies in the Two-Body Problem". Celestial Mechanics. 7 (3). ss. 388-389. Bibcode:1973CeMec...7..388B. doi:10.1007/BF01227859. ISSN 0008-8714.
4. Battin, R.H. (1999). An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. AIAA Education Series. American Institute of Aeronautics & Astronautics. s. 212 (Eq. (5.32)). ISBN 978-1-60086-026-3. 13 Kasım 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Ağustos 2022.
5. Smart, W. M. (1977). Textbook on Spherical Astronomy (PDF). s. 120 (Eq. (87)). 22 Mart 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 13 Kasım 2023.
6. Roy, A.E. (2005). Orbital Motion. 4. Bristol, UK; Philadelphia, PA: Institute of Physics (IoP). s. 78 (Eq. (4.65)). ISBN 0750310154. 15 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Ağustos 2020.

İlave okuma

• Murray, C. D. & Dermott, S. F., 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge. 0-521-57597-4ISBN 0-521-57597-4
• Plummer, H. C., 1960, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York. OCLC 1311887OCLC 1311887 (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)