Gauss yasası

Fizikte Gauss'un akı teoremi olarak da bilinen Gauss yasası, elektrik yükünün ortaya çıkan elektrik alanına dağılımına ilişkilendiren matematiksel bir yasadır. Söz konusu yüzey küresel yüzey gibi bir hacmi çevreleyen kapalı bir yüzey olabilir.

Yasa ilk olarak J. Louis Lagrange tarafından 1773 yılında düşünüldü. Ardından C. Friedrich Gauss tarafından 1813'te her ikisi de elipsoidlerin çekiciliği bağlamında formüle edildi. Gauss yasası klasik elektrodinamiğin temelini oluşturan Maxwell'in 4 denkleminden birisidir. Gauss yasası Coulomb yasasını türetmek için kullanılabilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Başlıca fizik ve matematiksel çözümleme alanlarında kullanılır.

Nitel Açıklama

Kelimelerle Gauss yasası, herhangi bir kapalı yüzeyden geçen net elektrik akısı, yüzeyin sarmaladığı net yükün ${\displaystyle {\varepsilon _{0}}}$'a bölümüdür. Gauss kanununun uygulanabilmesi için yük etrafında uygun kapalı yüzeyler seçilmelidir.

Gauss yasası Gauss'un manyetizma yasası ve Gauss'un yerçekimi yasası gibi fiziğin diğer alanlarındaki bir dizi yasayla yakın bir matematiksel benzerliğe sahiptir. Aslında herhangi bir ters kare yasası Gauss yasasına benzer bir şekilde formüle edilebilir. Örneğin Gauss yasasının kendisi ters kare yasası olan Coulomb yasasıyla eşdeğerdir. Aynı şekilde Newton'un kütleçekim yasası bir ters kare yasasıdır ve Gauss'un yerçekimi yasası ile eşdeğer bir niteliğe sahiptir.

Yasa tümlev formda ve diferansiyel formda Vektör Analizi yardımı ile matematiksel olarak ifade edilebilir. Gauss yasası, bir başka adı Gauss teoremi olarak da adlandırılan diverjans teoremi üzerine oturtturulmuştur. Bu formların (tümlev ve diferansiyel) her biri sırayla iki şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle \mathrm {E} }$ elektrik alanı ile toplam elektrik yükü arasındaki ilişki açısından veya elektrik yer değiştirme alanı ${\displaystyle D}$ ve serbest elektrik yükü açısından ifade edilebilir.

Elektrik Alanını İçeren Denklem

Gauss yüzeyinin bir bölümü içindeki yükü gösteren bir çizim.

Gauss yasası, elektrik alanı ve elektrik yer değiştirme alanı kullanılarak ifade edilebilir. Bu bölüm elektrik alanıyla bazı formları gösterir, elektrik yer değiştirme alanı ile gösterilen formlar aşağıdadır.

Tümlev Form

Gauss yasası kısaca şöyle ifade edilebilir:

${\displaystyle \Phi _{E}={Q \over \epsilon _{0}}}$

Burada ${\displaystyle \Phi _{E}}$ herhangi bir ${\displaystyle V}$ hacmini çevreleyen kapalı bir ${\displaystyle S}$ yüzeyinden geçen toplam elektrik akısıdır.${\displaystyle Q}$,${\displaystyle V}$ hacmindeki toplam yüktür ve ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ elektrik sabitidir. Elektrik akısı ${\displaystyle \Phi _{E}}$ elektrik alanının yüzey integrali olarak tanımlanır:

${\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{A}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Burada ${\displaystyle E}$ elektrik alanını,${\displaystyle dA}$ yüzey alanının sonsuz küçük elemanını temsil eden bir vektörü ve ${\displaystyle \cdot }$ iki vektörün iç çarpımını temsil eder.

Akı, elektrik alanının tümlevi olarak tanımlandığından, Gauss yasasının bu ifadesine tümlev ya da integral form denir.

Eğer elektrik alanı her yerde biliniyorsa, Gauss yasası elektrik yükünün dağılımını bulmayı mümkün kılar. Herhangi bir bölgedeki yük, akıyı bulmak için elektrik alanı entegre edilerek çıkarılabilir. Tersi durumda (elektrik yükü dağılımı bilindiğinde ve elektrik alanı hesaplanması gerektiğinde) işler zorlaşacaktır. Belirli bir yüzeyden geçen toplam akı, elektrik alanı hakkında çok az bilgi verir ve rastgele karmaşık desenlerde yüzeye girip çıkabilir.

Bir istisna, problemde elektrik alanın yüzeyden düzgün bir şekilde geçmesini zorunlu kılan bir simetri bulunmasıdır. Daha sonra toplam akı biliniyorsa alanın kendisi her noktada çıkarılabilir. Gauss yasasına uygun olan yaygın simetri örnekleri, silindirik simetri, küresel simetri ve düzlemsel simetri verilebilir. Detaylı bilgi için Gauss yüzeylerine bakabilirsiniz..

Diferansiyel Form

Diverjans teoremi ile yasa diferansiyel formda da yazılabilir:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

burada ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} }$ elektrik alanının diverjansı,${\displaystyle \epsilon _{0}}$ elektrik sabiti ve ${\displaystyle \rho }$ birim hacimde ki yük miktarı ya da yük yoğunluğudur.

Diferansiyel ve İntegral formların eşitliği

Ana madde :Diverjans teoremi

Matematiksel olarak integral ve diferansiyel form diverjans teoremi vasıtasıyla birbirine eşitlenebilir.

İspat:

Gauss yasasının integral formu:

${\displaystyle \oint _{A}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle Q}$ yükünü içeren herhangi bir kapalı ${\displaystyle A}$ yüzeyi için)

Diverjans teoremi ile bu denklem şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} V={Q \over \varepsilon _{0}}}$

(${\displaystyle Q}$ yükünü içeren herhangi bir ${\displaystyle V}$ hacmi için)

Yük ve yük yoğunluğu arasındaki ilişkiye göre bu denklem eşdeğerdir:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\ \mathrm {d} V=\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} V}$

Bu denklemin her olası ${\displaystyle V}$ hacmi için aynı anda doğru olabilmesi için integrallerin her yerde eşit olması gerekir. Bu nedenle denklem şuna eşdeğerdir;

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$