Matematikte, dördeyler (ya da kvaterniyon, kuaternion, dördübir), karmaşık sayıları bir gerçel, üç sanal boyuta genişleten sayı sistemidir. İlk defa İrlandalı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. Kuaterniyonlar değişme özelliğine (ab = ba) sahip değildir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler dördeylerin yerini almışsa da, kuramsal ve uygulamalı matematikte hala kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanı, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.
Dördey cebiri genellikle H (Hamilton) ile gösterilir. Clifford cebiri sınıflandırması Cℓ0,2(R) = Cℓ03,0(R) olarak da gösterilirler. H cebirinin analizde önemli bir yeri vardır. Çünkü, Frobenius teoremi'ne göre, gerçel sayılar cismini althalka olarak içeren sonlu-boyutlu dört bölüm cebirinden bir tanesidir (diğerleri gerçel sayılar, karmaşık sayılar ve sekizeyler (octonions)).
olarak verilir. Burada kullanılan toplama şu şekilde tanımlıdır:
Çarpma ise
ifadesinin dağıtma kuralı kullanılarak açılmasıyla ve aşağıdaki bağıntılar yardımıyla tanımlanır.
Her dördey tektir ve temel dördeylerin, yani 1, i, j ve k nin gerçel doğrusal birleşimidir.
Dördeyler halkası, çarpma işleminin değişmeli olmaması yüzünden bir cisim değildir. Bir bölüm halkasıdır.
Aynı zamanda, dördeyler, gerçel sayılar üzerinde bir bölüm cebiri oluşturur. Gerçel sayılar ve
karmaşık sayılarla birlikte, gerçelleri içeren birleşmeli üç bölüm cebirinden biridir.
Taban ögelerinin çarpımı
denklikler
,
burada i, j ve kH nın taban ögeleridir,i, j ve k nın tüm olası çarpanlarını belirtir .
örneğin −1 = ijk nın sağ çarpanlarının her ikisi de k ile verilir
Diğer tüm olası çarpanlar benzer yöntemlerle belirlenebilir
olan satır çarpanı sol faktörü teşkil eder ve bir tablo olarak ifade edilebilir, bu yazının üstünde gösterildiği gibi kendilerinin sütunlari sağ faktörü teşkil eder.
Hamilton çarpımı
iki a1 + b1i + c1j + d1k elementler için ve a2 + b2i + c2j + d2k, burada çarpıma, Hamilton çarpımı (a1 + b1i + c1j + d1k) (a2 + b2i + c2j + d2k) denir, taban ögeler ve dağılımsal kanunun çarpımları ile tanımlanıyor.Dağılım kanunu onu çarpımın açılımı için olası yapar böylece bu taban ögelerin çarpımlarının bir toplamıdır. Bu aşağıdaki bağıntılarla veriliyor:
Şimdi taban elemanları kullanılarak elde etmek için yukarıda verilen kuralları çoğaltılabilir:[1]
Sıralı liste formu
Hnın 1, i, j, k tabanları kullanılıyor dört katının bir kümesi olarak H yazmak için mümkün kılar:
bir karmaşık analizin fonksiyonları gibi, bir dördey değişkenin fonksiyonları kullanışlı fizik modelleri önerir.Örneğin, Maxwell tarafından tanıtılan orijinal elektrik ve manyetik alanlar bir dördey değişkenin fonksiyonları idi.
Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, and David Speiser (1962), "Foundations of quaternion quantum mechanics". J. Mathematical Phys. 3, pp.207–220, MathSciNet.
Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979 //r81
Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
Altmann, Simon L. (1986), "Rotations, quaternions, and double groups". Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. LCCN 85013615 ISBN 0-19-855372-2
Altmann, Simon L. (1989), "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine. Vol. 62, No. 5. p.291–308, December 1989.
Adler, Stephen L. (1995), "Quaternionic quantum mechanics and quantum fields". New York: Oxford University Press. International series of monographs on physics (Oxford, England) 88. LCCN 94006306 ISBN 0-19-506643-X
Ward, J. P. (1997), "Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications", Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4513-4
Kantor, I. L. and Solodnikov, A. S. (1989), "Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras", Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-96980-2
Gürlebeck, Klaus and Sprössig, Wolfgang (1997), "Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers". Chichester; New York: Wiley (Mathematical methods in practice; v. 1). LCCN 98169958 ISBN 0-471-96200-7
Kuipers, Jack (2002), "Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality" (reprint edition), Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8
Conway, John Horton, and Smith, Derek A. (2003), "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry", A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.
Kravchenko, Vladislav (2003), "Applied Quaternionic Analysis", Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
Vince, John A. (2008), Geometric Algebra for Computer Graphics, Springer, ISBN 978-1-84628-996-5.
For molecules that can be regarded as classical rigid bodies molecular dynamics computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by D.J. Evans, (1977), "On the Representation of Orientation Space", Mol. Phys., vol 34, p 317.
Zhang, Fuzhen (1997), "Quaternions and Matrices of Quaternions", Linear Algebra and its Applications, Vol. 251, pp.21–57.
"Geometric Tools documentation" (frame28 Ekim 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.; body) includes several papers focusing on computer graphics applications of quaternions. Covers useful techniques such as spherical linear interpolation.
Patrick-Gilles Maillot12 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Provides free Fortran and C source code for manipulating quaternions and rotations / position in space. Also includes mathematical background on quaternions.
"Geometric Tools source code" (frame; body11 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.) includes free C++ source code for a complete quaternion class suitable for computer graphics work, under a very liberal license.
David Erickson, Defence Research and Development Canada (DRDC), Complete derivation of rotation matrix from unitary quaternion representation in DRDC TR 2005-228 paper. Drdc-rddc.gc.ca
Alberto Martinez, University of Texas Department of History, "Negative Math, How Mathematical Rules Can Be Positively Bent",Utexas.edu
Morier-Genoud, Sophie, and Valentin Ovsienko. "Well, Papa, can you multiply triplets?", arxiv.org4 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. describes how the quaternions can be made into a skew-commutative algebra graded by Z/2 × Z/2 × Z/2.