Conway dizisi ok gösterimi, çok büyük sayıları ifade etmek için matematikçi John Horton Conway tarafından oluşturuldu. Pozitif tam sayılar serisini basitçe sağa doğru oklarla ayırarak gösterir. Örneğin, 2→3→4→5→6.
| Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi için alakalı konuda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. (Nisan 2021) |
Çok kombinatorik sembolojiler ile tanımı özyinelemedir. Bundan dolayıdır ki gösterim, sayının bazı tam sayı kuvvetini yükselterek çözmektir.
- Uzunluğu 3 olan bir dizi Knuth yukarı ok gösterimini ve hiperişlemleri ifade eder:
![{\displaystyle {\begin{matrix}p\to q\to r={\mbox{hiper}}(p,r+2,q)=p\!\!\!&\underbrace {\uparrow \dots \uparrow } &\!\!\!q=p\uparrow ^{r}q.\\&\!\!\!r{\mbox{ tane ok}}\!\!\!\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836533adc808583d2030cb1c0e2a7613ac357b19)
- X→p formunun X→Y dizisinden dolayı:
- a ile başlayan bir dizi, a nın bir kuvvetidir
- 1→Y dizisi 1'e eşittir
- X→1→Y dizisi X'e eşittir
- 2→2→Y dizisi 4'e eşittir
- X→2→2 dizisi X→(X)'e eşittir (X dizisinın değeri ona bağlandı)
Örnekler oldukça karışıktır. Burada birkaçına yer vereceğiz:
n
- = n (1.kurala göre)
p→q
- = pq (2.kurala göre)
- Burada 3→4=7
1→(her oklu ifade)
- = 1 tam ifade sonuçta 1sayı = 1 olarak azaldığında.
4→3→2=9
- = 4→(4→(4)→1→13(4.kurala göre) ve sonra iç parantezlerden dışa doğru,
- =( 4→4→4→1→1) 14(gereksiz parantezlerkaldırıldı)
- = 4→(4→4)→12
- (3'e göre)
- = 4→(256)→260 (2'ye göre)
- = 4→256→260
- = 4→256 (3'e göre)
- = 4256 6(2'ye göre)
- = 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 096 exactly ≈ 1.34078079299 × 10154
Knuth oklarıyla: ![{\displaystyle 4\uparrow \uparrow 3=4\uparrow 4\uparrow 4=4^{256}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221eead5a34383663ee7465df5d523c2cb1455aa)
2→2→4
- = 2→(2)→4(4'e göre)
- = 2→2→3=7
- = 2→2→2= 6 (4'e göre)
- = 2→2=4 (4'e göre)
- = 2→2 =4(3'e göre)
- = 4 (2)6 (4 için her dizi 2 tane 2 ile başlar)
2→4→3=6
- = 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (4.'e göre) Dört tane X (ki buradakisi 2 dir), üç tane q (buradakisi yine 2'dir) ile karışmasını engellemek için koyu yazıldı
- = 2→(2→(2→2→2)→2)→2=14
- = 2→(2→(4)→2)→2 =12(önceki örnekteki gibi)
- = 2→(2→4→2)→212
- = 2→(2→(2→(2→(2)→==1)→1)→1)→2 =15(4.kurala göre)
- = 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2
- = 2→(2→(2→(2→2)))→2 (yine 3'e göre)
- = 2→(2→(2→(4)))→2 (2'ye göre)
- = 2→(2→(16))→2 (2'ye göre)
- = 2→65536→2
- = 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (4'e göre) 65535 parantezli
- = 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...)))) (yine 3'e göre)
- = 2→(2→(2→(...2→(4))...)))) (2'ye göre)
- = 2→(2→(2→(...16...)))) (2'ye göre)
- =
(216 kule = 65536 kat) = 655362 (Tetrasyona bakınız)
Knuth okları ile: ![{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2=2\uparrow \uparrow 65536.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcae52ec9666dccb4823500806c5f2ad665fd65)
2→3→2→2
- = 2→3→(2→3)→1 (4'e göre)
- = 2→3→8 (2 ve 3) Knuth okları ile: 2 ↑8 3 (özellik1)
- = 2→(2→2→7)→7 (1)
- = 2→4→7 (iki tane başlangıç 2'si 4 eder [özellik6]) Knuth okları ile: 2 ↑7 4 (özellik1)
- = 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (4)
- = 2→(2→4→6)→6 (özellik6)
- = 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (4)
- = 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (özellik6)
- = 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (4)
- = 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (özellik6)
- = 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (4)
- = 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (özellik6)
- = 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (önceki örnekten)
- = önceki sayıdan çok büyüktür
Knuth okları ile: ![{\displaystyle 2\uparrow ^{6}2\uparrow ^{5}2\uparrow ^{4}2\uparrow ^{3}2\uparrow ^{2}65536.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcaa0d840587bd309994b0f3b91d2aea098833ef)
3→2→2→2
- = 3→2→(3→2)→1 (4)
- = 3→2→9 (2 ve 3)
- = 3→3→8 (4)
Knuth okları ile:
.
Ackermann işlevi, Conway dizisi ok gösterimi kullanılarak şöyle ifade edilebilir:
- m>2 için, A(m, n) = (2 → (n+3) → (m − 2)) − 3
olduğundan dolayı,
- n>2 için, 2 → n → m = A(m+2,n-3) + 3 olur.
(n=1 ve n=2, sırasıyla A(m,-2)=-1 ve A(m,-1)=1'i karşılayabilir. Bu mantıksal olarak eklenebilir).
Graham sayısı
, kendini Conyaw dizisi ok gösteriminde özlü olarak ifade edemez. Fakat
ortanca fonksiyonunu tanımlayarak;
(fonksiyonel kuvvete bakınız) ve
'yi elde ederiz.
İspat: Sırasıyla kural 3 ve kural 4'teki açıklamaları uygularsak şunları elde ederiz:
![{\displaystyle f^{64}(1)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530d19941fa58aa8aafdb2d8147bb43da5b22cd6)
(64 tane
)
![{\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)\rightarrow 1)\dots )\rightarrow 1)\rightarrow 1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6250709f2f2d1f388148a4dcb932401c72206308)
![{\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367fb4e7426438336dddb8da8411984ca6a511dc)
![{\displaystyle f^{64}(4)=G;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2c3014563c1b8549ac3502245714ff29d27743)
(64 tane
)
![{\displaystyle f^{64}(27)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632186f27725f293010e9c0bf16f4c73f27be959)
(64 tane
)
(65 tane
)
(yukarıdaki gibi hesaplanır).
f hızlı olarak artarken,
'de sapma meydana gelir.
Çok büyük sayıyı dizi okları ile ifade etmek oldukça kolaydır. Örneğin,
![{\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3~~=~~3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1787cbfa7a58cf6240da8ea1bfa97c0693e2590)
sayısı Graham sayısından çok büyüktür.