![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Associativity_of_binary_operations_%2528without_question_marks%2529.svg/langtr-640px-Associativity_of_binary_operations_%2528without_question_marks%2529.svg.png&w=640&q=50)
Birleşme özelliği (ikili işlemler)
From Wikipedia, the free encyclopedia
Matematikte birleşmeli özellik, bir küme üzerine tanımlanmış ikili işlemlerin ayırt edici özelliklerinden biridir. Bu özelliği sağlayan ikili işlemlere birleşmeli işlem denir. Açık olarak bu özellik, (xy)z = x(yz) demektedir, yani üç elemanı "çarparken" işlem sırasının önemli olmadığını söylemektedir, bir başka deyişle birleşmeli özellikte işlem yaparken paranteze gerek olmadığını söylemektedir. Örneğin tam sayılar kümesi Z üzerine tanımlanmış olan toplama işlemi birleşmeli bir işlemdir ancak çıkarma işlemi birleşmeli değildir, çünkü eşitliği her
için sağlanmasına karşın,
eşitliği
için sağlanmaz.
Birleşme özelliği | |
---|---|
![]() İlişkisel işlemleri temsil eden görsel bir grafik; | |
Tür | Yasa, yer değiştirme kuralı |
Alan | |
Sembolik gösterim |
|
Üç elemanı için geçerli olan bu özellik elbet
tane eleman için de geçerlidir. Örneğin
.
, X kümesi üzerine bir ikili işlem ise ve her
için
ise,
ikili işleminin birleşmeli işlem olduğu söylenir. Toplama, çarpma gibi cebirde rastlanan işlemlerin birçoğu birleşme özelliğini sağlar. Ancak çıkarma işlemi (tamsayılar kümesi üzerinde) birleşmeli işlem değildir çünkü
sayısı eğer z, 0'a eşit değilse
'ye eşit değildir.
Birleşmeli özelliği sağlayan yapılarda işlemler yapılırken parantez gerekmez. Bu yüzden ve
yerine,
yazılır. Aynı şey dört eleman çarpılırken de geçerlidir: Birleşmeli özelliğini sağlayan bir işlem söz konusu olduğunda,
,
,
, gibi çarpımlar parantezsiz olarak
olarak yazılır.
Birleşmeli özelliği sağlamayan yapılarda elemanını tanımlamak bile sorun olabilir, nitekim bu eleman
olarak tanımlanabileceği gibi
olarak da tanımlanabilir.
için çok daha fazla seçenek olabilir.
Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların birleşmeli işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X, X), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her
için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşmeli özelliği vardır.
Cebirde ender olsa da birleşmeli özelliğini sağlamayan işlemler önemli olabilir. Örneğin Lie cebirlerindeki köşeli parantez işlemi birleşmeli değildir. Öte yandan Lie cebirlerinde köşeli parantez işlemi, Jacobi eşitliği sayesinde, birazcık olsun birleşme özelliğini sağlar.