Matematikang pang-ekonomika

Ang ekonomiks na pangsipnayan o ekonomiks na pangmatematika (Ingles: mathematical economics) ay ang paglalapat ng mga paraang pangmatematika upang kumatawan ng mga teoriyang pang-ekonomiya at suriin ang mga suliraning hinaharap sa ekonomiks. Nagpapahintulot ito ng pormulasyon at paghango (deribasyon) ng susing mga ugnayan sa isang teoriya na mayroong linaw, pagkapanglahatan, kahigpitan, kapayakan. Ayon sa nakaugalian, ang nilalapat na mga paraan ay tumutukoy sa mga lampas sa payak na heometriya, katulad ng kalkulong diperensiyal at integral, mga diperensiya at mga ekwasyong diperensiyal, alhebra ng matris, at pagpoprogramang pangmatematika^[1] at iba pang mga paraang pangkomputasyon.^[2]

Nagpapahintulot ang matematika sa mga ekonomista na makabuo ng makahulugan at masusubok na mga proposisyon o mungkahi hinggil sa maraming mga paksa na malawak ang nasasakupan at kumplikado na hindi pormal na maipapahayag nang sapat. Bilang karagdagan, ang wika ng matematika ay nagpapahintulot sa mga ekonomista upang makagawa ng malinaw, espesipiko, at positibong mga pag-aangkin hinggil sa mga paksang kontrobersiyal o matututulan na maaaring imposible kapag wala ang paggamit ng matematika.^[3] Ang karamihan ng teoriyang ekonomika ay kasalukuyang ihinaharap sa pamamagitan ng mga modelong pang-ekonomiya na pangmatematika. isang pangkat ng inistiluhan at pinapayak na mga ugnayang pangmatematika na naglilinaw ng mga pagpapalagay at mga kahihinatnan.^[4]

Kabilang sa paggamit o paglalapat na malawakan ang:

• Mga problema ng optimisasyon ayon sa ekilibriyo o pagbabalanse ng layunin, maging ng isang sambahayan man, kompanyang pangnegosyo, o kaya tagagawa ng patakaran
• Ang istatik/hindi gumagalaw (o ekilibriyo) na analisis na pinagmodeluhan ng yunit na ekonomiko (katulad ng sambahayan) o sistemang pang-ekonomiya (katulad ng isang pamilihan o ang ekonomiya) bilang hindi nagbabago
• Estatikang komparatibo (estatikang hambingan) na katulad ng isang pagbabago mula sa isang ekilibriyo papunta sa ibang inudyok ng isang pagbabago sa isa o mas marami pang mga bagay-bagay
• Analisis na dinamiko o masigla, na bumabakas ng mga pagbabago sa loob ng isang sistemang pang-ekonomiya sa paglipas ng panahon, halimbawa na ang magmula sa paglaking pang-ekonomiya.^[1][5][6]

Ang pormal na pagmomodelong ekonomiko ay nagsimula sa loob ng ika-19 daantaon sa pamamagitan ng paggamit ng kalkulong diperensiyal upang katawanin at ipaliwanag ang gawi na pang-ekonomiya, katulad ng maksimisasyon o lalong pagpapataas ng utilidad (paggamit), isang maagang pang-ekonomiyang paggamit ng optimisasyong pangmatematika. Ang ekonomiks ay naging mas makamatematika bilang isang disiplina sa kahabaan ng unang hati ng ika-20 daantaon, subalit ang pagpapakilala ng bao at panglahatang mga teknik sa loob ng kapanahunan na nakapaligid sa Ikalawang Digmaang Pandaigdig, katulad ng teoriya ng laro, ay magpapalawak ng paggamit ng mga pormulasyong pangmatematika sa ekonomiks.^[7][6]

Ang matulin na pagsisistema ng ekonomiks ang nagbigay ng alarma sa mga manunuri ng disiplina pati na sa ilang kilalang mga ekonomista. Tinuligsa nina John Maynard Keynes, Robert Heilbroner, Friedrich Hayek at iba pa ang malawakang panggamit ng mga modelong pangmatematika para sa ugali ng tao, na nangangatwiran na ang ilan sa mga pagpili ng tao ay hindi maipabababa bilang matematika.

Modernong ekonomikang matematikal

Mula huli nang mga 1930, ang isang kalipunan ng mga bagong kasangkapang matematikal mula sa kalkulong diperensiyal at mga ekwasyong diperensiyal, mga hanay na konbeks at teoriya ng grapo ay ginamit upang isulong ang teoriyang ekonomiko sa paraang tulad ng mga bagong pamamaraang matematikal na mas unang nilapat sa pisika.^[7][8] Ang proseso ay kalaunang inilarawan bilang paglipat mula sa mekanika tungo sa aksiyomatika.^[9]

Kalkulong diperensiyal

Siniyasat ni Vilfredo Pareto ang mikroekonomika sa pamamagitan ng pagtatrato ng mga desisyon ng mga aktor na ekonomiko bilang mga pagtatangka sa pagbabago sa isang ibinigay na pamamahagi ng mga kalakal sa isa pang mas ninanais na pamamahagi. Ang mga hanay ng mga pamamahagi ay maari namang tratuhin bilang maiging Pareto (ang optimal na Pareto ay isang katumbas na termino) kapag walang mga palitan ay maaaring mangyari sa mga aktor na maaaring gumawa sa hindi bababa sa isang indibidwal na mas mabuti nang hindi gumagawa sa anumang isa pa mas masahol.^[10] Ang patunay ni Pareto ay karaniwang ay hinahalo sa ekwilibrium na Walrassian o inpormal na itinuro sa hipotesis na hindi makikitang kamay ni Adam Smith.^[11] Rather, Pareto's statement was the first formal assertion of what would be known as the first fundamental theorem of welfare economics.^[12] Ang modelong ito ay nagkukulang sa mga inekwalidad ng sumunod na henerasyo ng ekonomikang matematika. Sa isang mahalagang treatise na Foundations of Economic Analysis (1947), tinukoy ni Paul Samuelson ang isang karaniwang paradigm at istrakturang matematikal sa buong mga maraming larangan ng paksa na nagtatayo sa nakaraang akda ni Alfred Marshall. Ang Foundations ay kumuha ng mga konseptong matemtikal mula sa pisika at inilipat ang mga ito sa mga problemang ekonomiko. Ang malawak na pananw na ito (halimbawa ang paghahambing ng prinsipyo ni Chatelier sa subastang Walrasian) ay nagpapatakbo ng pundamental na premisa ng ekonomikang matematika: ang mga sistema ng mga aktor na ekonomika ay maaaring imodelo at ang mga pag-aasal nito ay mailalarawan tulad ng ibang mga sistema. Ang pagpalawig na ito ay sumunod sa akda ng mga marhinalista sa nakaraang siglo at malaki itong pinalawaig. Pinakitunguhan ni Samuelson ang mga problema sa pamamagitan ng paglalapat ng maksimisasyon ng utilidad ng indibidwal sa ibabaw ng mga agregatong pangkat sa kompartaibong statika na naghahambing ng dalawang magkaibang mga estadong ekwilibirium pagkatapos ng pagbabagong eksohenoso sa isang bariabulo. Ito ang iba pang mga paraan sa aklat ay nagbigay ng pundasyon para sa ekonomikang matematikal noong ika-20 siglo.^[6][13]

Mga modelong linyar

Tingnan din: linear algebra, Pagpoprogramang linyar, at teoremang Perron-Frobenius

Ang mga nilimitahang model ng pangkalahatang ekwilibrium ay pinormula ni John von Neumann noong 1937.^[14] Hindi tulad ng mga mas naunang bersiyon, ang mga modelo ni von Neurmann ay may mga pagtatakdang inekwalidad. Para sa kanyang modelo ng lumalawaig na ekonomikya, pinatunayan ni von Neumann ang pag-iral at pagiging walang katulad ng isang ekwilibrium gamit ang kanyang paglalahat ng teoriyang nakapirmeng punto ni Brouwer. Ang modelo ni von Neumann ng lumalawig na eknonomiya ay nagsaalang alang ng lapis na matriks  A - λ B na may mga hindi negatibong matriks na  A and B. Hinanap ni von Neuman ang probabilidad na mga bektor na  p at q at isang positibong bilang na  λ na lulutas sa ekwasyong komplementaridad na

p^T  (A - λ B) q = 0,

kasama ng dalawang mga sistemang inekwalidad na naghahayag ng kaigihang ekonomiko. Sa modelong ito, ang tinransposong probabilidad na bektor na p ay kumakatawan sa mga presyo ng mga kalakal samantalang ang probabilidad na bektor na q ay kumakatawan sa "intensidad" kung saan ang prosesong produksiyon ay tatakbo. Ang walang katulad na solusyong λ ay kumakatawan sa rate ng paglago ng ekonomiya na katumbas ng rate ng interes. Ang pagpapatunay ng pag-iral ng isang positibong rate ng paglago at pagpapatunay na ang rate ng paglago ay katumbas ng rate ng interes ay isang kahanga hangang mga pagkakamit kahit para kay von Neumann.^[15][16][17] Ang mga result ni Von Neumann ay nakita bilang isang espesyal na kaso ng pagpoprogramang linyar kung saan ang modelo ni von Neumanan ay gumagamit lamang ng mga hindi negatibong matriks.^[18] Ang pag-aral ng modelo ng ni von Neumann ng isang lumalawig na ekonomiya ay patuloy na nagbibigay interes sa mga ekonomista na may mga interes sa ekonomikang komputasyona.^[19][20][21]

Ekonomikang input-output

Pangunahing artikulo: Modelong input-output

Noong 1936, itinayo ng ipinanganak sa Rusyang ekonomistang si Wassily Leontief ang kanyang modelo ng modelong input-output mula sa mga tablang 'material balance' na nilikha ng mga ekonomistang Soviet na kahit mismong sila ay sumunod sa mas naunang akda ng mga pisiokrata. Sa kanyang modelo na naglarawan ng isang sistema ng produksiyon at mga proseso ng pangangailangan (demand), inilaraan ni Leontief kung paanong ang mga pagbabago sa pangangailangansa isang sektor ekonomiko ay maiimpluwensiya sa produksiyon ng isa pa.^[22] Sa kasanayan, tinantiya ni Leontief ang mga koepisyente ng kanyang mga simpleng modelo upang sagutin ang mga interesanteng tanong na eknonomiko. Sa ekonomikang produksiyon, ang "Leontief technologies" ay lumikha ng mga output gamit ang mga konstanteng proporsiyon ng mga input kahit pa hindi isaalang alang ang presyo ng mga input na nagpapaliit sa halaga ng mga modelo ni Leontief upang maunawaan ang mga ekonomiya ngunit pumapayag sa mga parametro nito na matantiyang relatibong madali. Salungat dito, ang modelong von Neumann ng isang lumalawig na eknomomiya ay pumapayag para sa pagpipilian ng mga pamamaraan ngunit ang mga koepisyente ay dapat tantiyahin para sa bawat teknolohiya.^[23][24]

Matematikal na optimisasyon

Pulang tuldok sa direksiyong z bilang maksimum para sa punsiyong parabolodi ng mga input na (x,y)

Mga pangunahing artikulo: Matematikal na optimisasyon at Problemang dual

Tingnan din: Konbeksidad sa ekonomika at Hindi-konbeksidad (ekonomika)

Sa matematika, ang matematikal na optimisasyon ay tumutukoy sa pagpili ng isang pinakamahusay na elemento mula sa isang hanay ng mga makukuhang alternatibo.^[25] Sa pinakasimpleng kaso, ang isang problemang optimisasyon ay kinasasangkutan ng pagmamaksima o pagmiminimisa ng isang real na punsiyon sa pamamagitan ng pagpili ng mga halagang input ng punsiyon at pagkukwenta ng tumutugong mga halaga ng punsiyon. Ang prosesong solusyon ay kinabibilangan ng pagsasapat sa mga kinakaialangan at sapat ng mga kondisyon para sa optimalidad. Sa mas pangkalahatan, ang optimisasyon ay kinabibilangan ng paghahanp ng pinakamahusay ng makukuhang elemento ng isang punsiyon sa ibinigay na isang inilarawang sakop at maaaring gumamit ng iba't ibang mga pamamaraang komputasyonal.^[26] Ang eknonomika ay sapat na malapit na iniuugnay sa optimisasyon ng mga ahente sa isang ekonomiya na ang isang maimpluwensiya (influential) na depinisyon ay kaugnay na naglalarawan ng ekonomikang qua agham bilang "pag-aaral ng pag-aasal ng tao bilang relasyon sa pagitan ng mga wakas at salat na mga paran" na may mga alternatibong paggamit.^[27] Ang mga problemang optimisasyon ay tumatakbo sa modenong ekonomika na ang marami ay may mga hayagang pagtatakdang ekonomiko o teknikal. Sa mikroekonomika, ang problemang maksimisayon ng utilidad at ang problemang dual nito, ang problemang minimisasyon ng paggasta para isang ibinigay na lebel ng utilidad ay mga problemang optimisasyong ekonomiko.^[28] Ang teoriya ay nagpapalagay na ang mga konsumer ay nagmamaksima ng kanilang utilidad sa ilalim ng mga pagtatakdang badyet at ang mga negosyo ay nagmamaksima ng kanilang mga tubo sa ilalim ng mga punsiyong produksiyon, mga gastos ng input at pangangailangan ng pamilihan.^[29] Ang ekwilibrium na ekonomiko ay pinag-aaralan sa teoriyang optimisasyon bilang isang mahalagang sangkapt ng mga teoremang ekonomiko na sa prinsipyo ay maaaring masubok laban sa mga datos na empirikal.^[6][30] Ang mas bagong mga pag-unlad ay nangyari sa pagpoprogramang dinamiko at pagmomodelo ng optimisasyon gamit ang panganib at kawalang katiyakan kabilang ang mga aplikasyon sa teoriya ng portfoli, ang eknomika ng impormasyon at teoriya ng paghahanap.^[29] Ang mga katangiang optimalidad para sa buong sistemang pamilihan ay maaaring isaad sa mga terminong matematikal gaya ng pormulasyon ng dalawang mga pundamental na teorema ng ekonomikang kapakanan^[31] at sa modelong Arrow-Debreu ng pangkalahatang ekwilibrium.^[32] Sa mas konkreto, maraming mga problema ay tutugon sa solusyong analitikal. Maraming mga iba ay sapat na komplikado upang mangailangan ng mga pamamaraang numerikal ng solusyon na tinulungan ng sopwer.^[26] Gayunpaman, ang iba ay komplikado ngunit sapat na mabilis na malulutas upang pumayag sa mga pamamaraang pagkukuwenta ng solusyon, sa partikular ang mga modelong makukwentang pangkalahatang ekwilibrium ng ekonomiya.^[33] Ang pagpoprogramang linyar at hindi linyar ay malalim na umapekto sa mikroekonomika na mas naunang nagsaalang alang lamang ng mga pagtatakdang ekwalidad.^[34] Marami sa mga ekonomistang matematikal na nakatanggap ng Gantimpalang Nobel ay nagsagawa ng kilalalang pagsasaliksik gamit ang pagpoprogramang linyar:Leonid Kantorovich, Leonid Hurwicz, Tjalling Koopmans, Kenneth J. Arrow, and Robert Dorfman, Paul Samuelson, at Robert Solow.^[35] Parehong kinilala nina Kantorovich at Koopmans na si George B. Dantzig ay nararapat na magsalo sa kanilang Gantimpalang Nobel para sa pagpoprogramang linyar. Ang mga ekonomistang nagsagawa ng pagsasaliksik sa pagpoprogramang hindi linyar ay nananlo rin ng Gantimpalang Nobel na ang pinakakilala dito ay si Ragnar Frisch sa karagdagan pa kina Kantorovich, Hurwicz, Koopmans, Arrow, at Samuelson.

Optimisasyong linyar

Mga pangunahing artikulo: Pagpoprogramang linyar at algoritmong simplex

Ang pagpoprogramang linyar ay pinaunlad upang makatulong sa pamamahagi ng mga mapagkukunan sa mga negosyo sa mga industriya noong mga 1930 sa Rusya at noong mga 1940 sa Estados Unidos. Noong panahon ng Berlin airlift (1948), ang pagpoprogramang linyar ay ginamit upang planuhin ang paghahatid ng mga suplay upang maiwasan ang Berlin sa pagkagutom pagkatapos ng paghaharang ng Soviet.^[36][37]

Pagpoprogamang hindi linyar

Tingnan din: Pagpoprogramang linyar, Pamparaming Lagrange, mga kondisyona Karush-Kuhn-Tucker, at presyong anino

Ang mga pagpapalawig sa optimisasyong hindi linyar na mga pagtatakdang inekwalidad ay nakamit noong 1951 nina Albert W. Tucker at Harold Kuhn na nagsaalang alang mga hindi linyar na problemang optimisasyon na:

Minimize ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$) subject to ${\displaystyle g}$_i(${\displaystyle x}$) ≤ 0 at ${\displaystyle h}$_j(${\displaystyle x}$) = 0 kung saan ang

${\displaystyle f}$(^.) ang punsiyon na imiminimisa

${\displaystyle g}$_i(^.) (${\displaystyle j}$ = 1, ..., ${\displaystyle m}$) ang mga punsiyon ng mga pagtatakdang inekwalidad na ${\displaystyle m}$

${\displaystyle h}$_{j(^.) (${\displaystyle j}$ = 1, ..., ${\displaystyle l}$) ang mga punsiyon ng mga pagtatakdang ekwalidad na ${\displaystyle l}$}

Sa pagpayag ng mga pagtatakdang inekwalidad, ang pakikitungong Kuhn-Tucker ay naglahat ng klasikong paraan ng mga pamparaming Lagrange na pumayag lamang ng mga pagtatakdang ekwalidad.^[38] Ang pakikitungong Kuhn–Tucker ay nagbigay inspirasyon rin sa karagdagang pagsasaliksik ng dualidad na Lagrangian kabilang ang pagtatrato ng mga pagtatakdang inekwalidad.^[39][40] Ang teoriyang dualidad ng pagpoprogramang hindi linyar ay partikular na nakakasapat kapag inilapat sa mga problemang minimisasyon na konbeks na nakikinabang sa konbeks-analitikong teoriyang dualidad nina Fenchel at Rockafellar. Ang dualidad na konbeks na ito ay partikular na malakas para sa mga punsiyong polihedral konbeks gaya ng lumilitaw sa pagpoprogramang linyar. Ang dualidad na Lagrangian at analisis na konbeks ay araw araw ginagamit sa mga operasyong pagsasaliksik, sa pagiiskedyul ng mga planta ng elektrisidad, sa pagpaplano ng mga skedyul ng produksiyonh para sa mga pabrika at sa pagruruta ng mga eroplano (mga ruta, paglipag, eroplano at tauhan).^[40]

Kalkulong bariasyonal at kontrol na optimal

Tingnan din: Kalkulo ng mga bariasyon, Kontrol na optimal, at pagpoprogramang dinamiko

Ang dinamikang ekonomiko ay pumapayag sa mga pagbabago sa mga bariabulong ekonomika sa paglipas ng panahon kabilang ang mga sistemang dinamiko. Ang problema ng paghahanap ng mga punsiyong optimal para sa gayong mga pagbabago ay pinag-aaralan sa kalkulong bariasyonal at sa teoriyang kontrol na optimal. Bagon ang Ikalawang Digmaang Pandaigdig, ginamit nina Frank Ramsey at Harold Hotelling ang kalkulo ng bariasyon para sa dahilang ito. Kasunod ng akda ni Richard Bellman sa pagpoprogramang dinamiko at sa saling ingles noong 1962 mas naunang akda nina Pontryagin at iba,^[41] ang teoriya ng kontrol na optimal ay ginamit ng mas malawak sa ekonomika upang sagutin ang mga problemang dinamiko lalo na ang ekwilibrium na paglagong ekonomiko at pagiging matatag ng mga sistemang ekonomiko^[42] kung saan ang isang halimbawa sa aklat pampaaralan ang pagtitipid at optimal na pagkonsumo.^[43] Ang isang mahalagang distinksiyon ay sa pagitan nga mga modelong kontrol na deterministiko at stokastiko.^[44] Ang ibang mga aplikasyon ng teoriyang kontrol na optimal ay kinabibilangan ng sa pinansiya, mga inbentoryo at produksiyon.^[45]

Analisis na punisyonal

Tingnan din: Analisis na punsiyonal, hanay na konbeks, sumusuportang hiperplano, teoremang Hahn-Banach, teoremang nakapirmeng punto, at espasyong dual

Sa kurso ng pagpapatunay ng pag-iral ng optimal na ekwilibrium sa kanayang modelo ng paglagong ekonomiko noong 1937 nang ipinakilala ni John von Neumann ang mga pamamaraang analisis na punsiyonal sa teoriyang ekonomiko sa partikular ang teoremang nakapirmeng punto sa pamamagitan ng kanyang paglalahat ng teoremang nakapirmeng punto ni Brouwer.^[7][14][46] Kasunod ng programa ni von Neumann, sina Kenneth Arrow at Gérard Debreu ay nagpormula ng mga modelong abstrakto ng mga ekwilibrium na ekonomiko gamit ang mga hanay na konbeks at teoriyang nakapirmeng punto. Sa pagpapakilala ng modelong Arrow-Debreu noong 1954, kanilang pinatunayan ang pag-iral (ngunit hindi ang pagiging walang katulad) ng ekwilibrium at pinatunayan rin na ang bawat ekwilibrium na Walras ay isang magiging Pareto. Sa pangkalahatan, ang mga ekwilibrium ay hindi kinakailangang walang katulad.^[47] Sa mga modelo nito, ang primal na espasyong bektor ay kinatawan ng mga kantidad samantalang ang dual na espasyong bektor ay kinatawan ng mga presyo.^[48]

Sa Rusya, ang matematikong si Leonid Kantorovich ay bumuo ng mga modelong ekonomiko sa parsiyal na inayo na mga espasyong bektor na nagbigay diin sa dualidad sa pagitan ng mga kantidad at mga presyo.^[49] Sa pagkaapi sa komunismo, muling pinangalanan ni Katorovich ang mga presyo bilang obhektibong matutukoy na mga pagtatasa" na pinaikli sa Rusyano bilang "o. o. o." na nagpapahiwatig sa kahirapan ng pagtalakay ng mga presyo sa Unyong Sobyet.^[48][50][51]

Kahit sa may mga hangganang dimensiyon, ang mga konsepto ng analisis na punsiyonal ay nagliwanag ng teoriyang ekonomiko partikular na ang pagbibigay liwanag sa papel ng mga presyo bilang mga normal na bektor sa isang sumusuportang hiperplano sa isang hanay na konbeks na kumakatawan sa mga posibilidad ng produksiyon o konsumpsiyon. Gayunpaman, ang mga problema ng paglalarawan ng optimisasyon sa paglipas ng panahon o ilalim ng kawalang katiyakan ay nangangailangan ng paggamit ng walang hangganang dimenisyonal na mga espasyong punsiyon dahil ang mga ahente ay pumipili sa mga punsiyon o mga prosesong stokastiko.^{[48][52][53][54]}

Pagbagsak at pag-ahong diperensiyal

Ang akda ni von Neumann sa analisis na punsiyonal at topolohiya ay nagpasulong sa matematika at teoriyang ekonomiko.^[14][55] Ito ay nag-iwan rin ng matas na eknomikang matematikal na may ilang mga aplikasyong ng kalkulong diperensiyal. Sa partikular, ang mga teorista ng pangkalahatang ekwilibrium ay gumamit ng pangkalahatang topolohiya, heometriyang konbeks at matematikal na optimisasyon ng higit sa kalkulong diperensiyal dahil ang pakikitungo ng kalkulong diperensiyal ay nabigo sa pagpapatunay ng pag-iral ng isang ekwilibrium. Gayunpaman, ang pagbagsak ng kalkulong diperensiyal ay hindi dapat pasidhiin dahil ang ang kalkulong diperensiyal ay palaging ginagamit sa pagsasanay ng edukasyong lagpas kolehiyo at mga aplikasyon. Sa karagdagan, ang kalkulong diperensiyal ay bumalik sa pinakamataas na mga lebel ng ekonomikang matematika, teoriyang pangkalahatang ekwilibrium gaya ng sinasanay ng "GET-set". Gayunpaman, noong mga 1960 at 1970, sina Gérard Debreu at Stephen Smale ay nanguna sa muling pagbuhay ng paggamit ng kalkulong diperensiyal sa ekonomikang matematika. Sa partikular, nagawa nilang mapatunayan ang pag-iral ng pangkalahatang ekwilibrium na kung saan ang mga mas naunang manunulat ay nabigo dahil sa kanilang nobelang matematika: ang kategoryang Baire mula sa pangkalahatang topolohiya at ang lemma ni Sard mula sa topolohiyang diperensiyal. Ang ibang mga ekonomistang nauugnay sa paggamit ng analisis na diperensiyal ay kinabibilangan nina Egbert Dierker, Andreu Mas-Colell, at Yves Balasko.^[56][57] Ang mga pagsulong na ito ay nagbago ng tradisyonal na salaysay ng ekonomikang matematikal kasunod ni von Neumann na nagdiwang ng pag-iwan sa kalkulong diperensiyal.

Teoriya ng laro

Pangunahing artikulo: Teoriya ng laro

Tingnan din: larong pakikipagtulungan; larong hindi pakikipagtulungan; teoriya ng mga laro at pag-aasal ekonomiko; at John Forbes Nash, Jr.

Si John von Neumann na gumagawang kasama ni Oskar Morgenstern sa teoriya ng mga laro at pag-aasal ekonomiko ay sumulong sa matematika nong 1944 sa pamamagitan ng pagpapalawig ng mga pamamaraan ng analisis na punsiyonal na nauugnay sa mga hanay na konbeks at topolohikal na teoriyang nakapirmeng punto sa analisis na ekonomiko.^[7][55] Dahil dito, ang kanilang akda ay umiwas sa tradisyonal na kalkulong diperensiyal kung ang operador na maksimum ay hindi lumapat sa mga punsiyong hindi diperensiyable. Sa pagpapatuloy ng gawa ni von Neumann sa larong pakikipagtulungan, ang mga teorista ng larong sina Lloyd S. Shapley, Martin Shubik, Hervé Moulin, Nimrod Megiddo at Bezalel Peleg ay umimpluwensiya sa pananaliksik ekonomiko sa politika at ekonomika. Halimbawa, ang pagsasaliksik sa mga patas na presyo sa mga larong pakikipagtulungan at ang mga patas na halaga para sa larong pagboto ay tumungo sa pagbabago ng mga patakran sa pagbot sa mga lehislatura at sa pagtatasa ng mga gastos sa mga proyektong trabahong publiko. Halimbawa, ang teoriyang larong pakikipagtulungan ay ginamit sa pagdidisenyo ng sistemang distribusyon ng tubig ng Katimugang Sweden at sa pagtatakda ng mga rate para sa nakatuong mga linya ng telepono sa Estados Unidos. Ang mas naunang teoriyang neoklasiko ay nagtakda lamang ng saklaw ng mga baratilyong kalalabasan at sa mga espesyal na kaso, halimbawa sa monopolyong bilateral o sa kahabaan ng kurbang kontrata ng kahong Edgeworth.^[58] Ang mga resulta ng akda nina Von Neumann at Morgenstern ay parehong mahina. Gayunpaman, kasunod ng programan ni von Neumann, si John Nash ay gumamit ng teoriyang nakapirmeng punto upang patunayan ang mga kondisyon sa ilalim ng problemang baratilyo at ang mga larong pakikipagtulungan ay maaaring lumikha ng walang katulad na solusyong ekwilibrium na Nash.^[59] Ang teoriyang laro na hindi pakikipagtulungan ay kinuha bilang isang pundamental na aspeto ng ekonomikang eksperimental,^[60] ekonomikang pag-aasal,^[61] information economics,^[62] organisasayong industriyal,^[63] at ekonomiyang politkal.^[64] Ito ay nagpalitaw rin sa paksa ng disenyong mekanismo na minsang tinatawag na kabaligtarang teoriya ng laro na may mga aplikasyong pribado at publiko sa mga paraan ng pagpapabuti ng kaigihang ekonomiko sa pamamagitan ng mga pabuya para sa pagsasalo ng impormasyon.^[65]

Noong 1994, sina Nash, John Harsanyi, at Reinhard Selten ay tumanggap ng Gantimpalang Nobel sa ekonomika para sa kanilang akda sa mga larong hindi pakikipagtulungan. Sina Harsanyi at Selten ay ginantimpalaan para sa kanilang akda sa mga larong paulit ulit. Ang kalaunang akda ay nagpalawig ng mga resulta sa mga pamamaraang ekonomikang komputasyonal ng pagmomodelo.^[66]

Batay sa ahenteng ekonomikang komputasyonal

Ang batay sa ahenteng ekonomikang komputasyonal (ACE) ay isang pinangalanang larangan na relatibong kamakailan lamang na may petsang mula mga 1990. Ito ay nag-aaral ng mga prosesong ekonomiko kabilang ang buong mga ekonomiya bilang mga sistemang dinamiko ng nag-uugnayang mga ahente sa paglipas ng panahon. Kaya ito ay nahuhulog sa paradigm ng mga sistemng adaptibong kompleks.^[67] Sa pagtugon sa mga modelong nakabatay sa ahente, ang mga ahente ay hindi mga tunay na tao kundi "mga obhektong komputasyonal na minodelo bilang nag-uugnayan ayon sa mga patakaran...na ang mga interaksiyong mikro-lebel ay lumilikha ng mga paternong umaahon."^[68] Ang mga patakaran ay pinormula upang hulaan ang pag-aasal at mga intraksiyong panlipunan batay sa mga gantimpala at impormasyon. Ang asumpsiyong teoretikal ng matematikal na optimisasyon ng mga ahenteng pamilihan ay pinalitan ng hindi mas restriktibong postulado ng mga ahenteng may tinakdaaang pagiging makatwiran na umaangkop sa mga pwersa ng pamilihan.^[69] Ang mga modelong ACE ay naglalapat ng mga pamamarang numerikal sa batay sa kompyuter na mga simulasyon ng mga problemang dinamikong kompleks kung ang ang mas konbensiyonal na mga pamamaraan gaya ng pormulasyon ng teorema ay maaaring hindi makahanap ng handang paggamit.^[70] Sa pagsisimula mula sa isang tinukoy na mga inisyal na kondisyon, ang komputasyonal na sistemang ekonomiko ay minomodelo bilang nag-eebolb sa paglipas ng panahon habang ang mga ahenteng bumubuo dito ay paulit ulit na nakikipag-ugnayan sa bawat isa. Sa mga respetong ito, ang ACE ay inilirawan bilang isang pakikitungong baba-pataas na kulturang plato sa pag-aaral ng ekonomiya.^[71] Salungat sa ibang mga pamantayang mga pamamaraang pagmomodelo, ang mga pangyayaring ACE ay pinapatakbo lamang ng mga inisyal na kondisyon kahit pa ang ekwilibrium ay umiiral o mabilis na malulutas sa pagkukwenta. Gayunpaman, ang pagmomodelong ACE ay kinabibilangan ng pag-aangkop ng ahente, autonomiya at pagkatuto.^[72] Ito ay may pagkakatulad at sumasanib sa teoriya ng laro bilang isang paraang batay sa ahente para sa pagmomodelo ng mga interaksiyong panlipunan.^[66] Ang ibang mga dimensiyon ng pakikitungo ay kinabibilangan ng gayong mga paksang pamantayang ekonomiko gaya ng kompetisyon at kolaborasyo,^[73] istaktura ng pamilihan at organisasyong industriyal,^[74] mga gastos ng transaksiyon,^[75] ekonomikang kapakanan^[76] at disensiyong mekanismo,^[65] ekonomikang impormasyon,^[77] at makroekonomika.^[78][79] Ang paraang ito ay sinasabing nakikinabang mula sa patuloy na pagpapabuti sa mga pamamaraang pagmomodelo ng agham pangkompyuter at tumaas na mga kakayahan ng kompyuter. Ang mga isyu ay kinabibilangan ng mga karaniwan sa ekonomikang eksperimental sa pangkalahatan ^[80] and by comparison^[81] at pagpapaunlad ng isang karaniwang balangkas para sa balidasyong empirikal at paglutas ng mga bukas na taon sa pagmomodelong batay sa ahente.^[82] Ang huling layuning siyentipiko ng paraang ito ay inilarawan bilang "pagsubok sa mga natuklasang teoretikal laban sa tunay na daigdig na mga datos sa mga paraang papayag na ang mga teoriyang empirikal na sinuportahan ay magtitipon sa paglipas ng panahon na ang mga akda ng mananaliksik ay angkop na magtatayo sa akdang nauna na".^[83]

Mga sanggunian

1. Chiang, Alpha C.; and Kevin Wainwright (2005). Fundamental Methods of Mathematical Economics. McGraw-Hill Irwin. pp. 3–4. ISBN 0-07-010910-9.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) TOC.
2. Search of The New Palgrave Dictionary of Economics Online, "mathematical economics" "computational".
3. Varian, Hal (1997). "What Use Is Economic Theory?" in A. D'Autume and J. Cartelier, ed., Is Economics Becoming a Hard Science?, Edward Elgar. Pre-publication PDF. Naka-arkibo 2006-06-25 sa Wayback Machine. Retrieved 2008-04-01.
4. • Katulad ng nasa loob ng Handbook of Mathematical Economics, mga kawing sa kabanata na nasa unang pahina:
        Arrow, Kenneth J., at Michael D. Intriligator, patnugot, (1981), v. 1^{[patay na link]}
        _____ (1982). v. 2^{[patay na link]}
        _____ (1986). v. 3^{[patay na link]}
        Hildenbrand, Werner, at Hugo Sonnenschein, patnugot (1991). v. 4.
      • Debreu, Gérard (1983). Mathematical Economics: Twenty Papers of Gérard Debreu, Contents.
      • Glaister, Stephen (1984). Mathematical Methods for Economists, ika-3 edisyon, Blackwell. Contents.
      • Takayama, Akira (1985). Mathematical Economics, ika-2 edisyon. Cambridge. Description at Contents.
      • Michael Carter (2001). Foundations of Mathematical Economics, MIT Press. Paglalarawan Naka-arkibo 2006-09-15 sa Wayback Machine. at mga Nilalaman.
5. Chiang, Alpha C. (1992). Elements of Dynamic Optimization, Waveland. TOC Naka-arkibo 2010-12-11 sa Wayback Machine. & Amazon.com kawing na papasok, unang mga pahina.
6. Samuelson, Paul ((1947) [1983]). Foundations of Economic Analysis. Harvard University Press. ISBN 0-674-31301-1. {{cite book}}: Check date values in: |date= (tulong)
7. • Debreu, Gérard ([1987] 2008). "mathematical economics", The New Palgrave Dictionary of Economics, ika-2 edisyon. Abstrakto. (Unang nalimbag na mayroong mga rebisyon mula noong 1986, "Theoretic Models: Mathematical Form and Economic Content", Econometrica, 54(6), pp. 1259-1270.)
      • von Neumann, John, at Oskar Morgenstern (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.
8. Herstein, I.N. (1953). "Some Mathematical Methods and Techniques in Economics". Quarterly of Applied Mathematics. American Mathematical Society. 11 (3): 249, 252, 260. ISSN 1552-4485. {{cite journal}}: Unknown parameter |month= ignored (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link) [Pp. 249-62.
9. • Weintraub, E. Roy (2008). "mathematics and economics", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
      • _____ (2002). How Economics Became a Mathematical Science. Duke University Press. Description Naka-arkibo 2010-07-29 sa Wayback Machine. and preview.
10. Nicholson, Walter; Snyder, Christopher (2007). "General Equilibrium and Welfare". Intermediate Microeconomics and Its Applications (ika-10th (na) edisyon). Thompson. pp. 364, 365. ISBN 0-324-31968-1.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
11. Jolink, Albert (2006). "What Went Wrong with Walras?". Sa Backhaus, Juergen G.; Maks, J.A. Hans (pat.). From Walras to Pareto. The European Heritage in Economics and the Social Sciences. Bol. IV. Springer. doi:10.1007/978-0-387-33757-9_6. ISBN 978-0-387-33756-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) CS1 maint: multiple names: mga patnugot (link)
       • Blaug, Mark (2007). "The Fundamental Theorems of Modern Welfare Economics, Historically Contemplated". History of Political Economy. Duke University Press. 39 (2): 186–188. doi:10.1215/00182702-2007-001. ISSN 0018-2702.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
12. Blaug (2007), p. 185, 187
13. Metzler, Lloyd (1948). "Review of Foundations of Economic Analysis". American Economic Review. The American Economic Review, Vol. 38, No. 5. 38 (5): 905–910. ISSN 0002-8282. JSTOR 1811704.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
14. Neumann, J. von (1937). "Über ein ökonomisches Gleichungssystem und ein Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes", Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 8, pp. 73–83, translated and published in 1945–46, as "A Model of General Equilibrium", Review of Economic Studies, 13, pp. 1–9.
15. For this problem to have a unique solution, it suffices that the nonnegative matrices A and B satisfy an irreducibility condition, generalizing that of the Perron–Frobenius theorem of nonnegative matrices, which considers the (simplified) eigenvalue problem

    A - λ I q = 0,

    where the nonnegative matrix A must be square and where the diagonal matrix I is the identity matrix. Von Neumann's irreducibility condition was called the "whales and wranglers" hypothesis by David Champernowne, who provided a verbal and economic commentary on the English translation of von Neumann's article. Von Neumann's hypothesis implied that every economic process used a positive amount of every economic good. Weaker "irreducibility" conditions were given by David Gale and by John Kemeny, Oskar Morgenstern, and Gerald L. Thompson in the 1950s and then by Stephen M. Robinson in the 1970s.
16. David Gale. The theory of linear economic models. McGraw-Hill, New York, 1960.
17. Morgenstern, Oskar; Thompson, Gerald L. (1976). Mathematical theory of expanding and contracting economies. Lexington Books. Lexington, Massachusetts: D. C. Heath and Company. pp. xviii+277.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
18. Alexander Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming. John Wiley & sons, 1998, ISBN 0-471-98232-6.
19. •Rockafellar, R. Tyrrell (1967). Monotone processes of convex and concave type. Memoirs of the American Mathematical Society. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. i+74.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
       • Rockafellar, R. T. (1974). "Convex algebra and duality in dynamic models of production". Sa Josef Loz and Maria Loz (pat.). Mathematical models in economics (Proc. Sympos. and Conf. von Neumann Models, Warsaw, 1972). Amsterdam: North-Holland and Polish Adademy of Sciences (PAN). pp. 351–378.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
       •Rockafellar, R. T. (1970 (Reprint 1997 as a Princeton classic in mathematics)). Convex analysis. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. {{cite book}}: Check date values in: |year= (tulong)
20. Kenneth Arrow, Paul Samuelson, John Harsanyi, Sidney Afriat, Gerald L. Thompson, and Nicholas Kaldor. (1989). Mohammed Dore, Sukhamoy Chakravarty, Richard Goodwin (pat.). John Von Neumann and modern economics. Oxford:Clarendon. p. 261.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) CS1 maint: multiple names: mga may-akda (link)
21. Chapter 9.1 "The von Neumann growth model" (pages 277–299): Yinyu Ye. Interior point algorithms: Theory and analysis. Wiley. 1997.
22. Screpanti, Ernesto; Zamagni, Stefano (1993). An Outline of the History of Economic Thought. New York: Oxford University Press. pp. 288–290. ISBN 0-19-828370-9. OCLC 57281275.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
23. David Gale. The theory of linear economic models. McGraw-Hill, New York, 1960.
24. Morgenstern, Oskar; Thompson, Gerald L. (1976). Mathematical theory of expanding and contracting economies. Lexington Books. Lexington, Massachusetts: D. C. Heath and Company. pp. xviii+277.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
25. "The Nature of Mathematical Programming Naka-arkibo 2014-03-05 sa Wayback Machine.", Mathematical Programming Glossary, INFORMS Computing Society.
26. Schmedders, Karl (2008). "numerical optimization methods in economics", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition, v. 6, pp. 138-57. Abstract.
27. Robbins, Lionel (1935, 2nd ed.). An Essay on the Nature and Significance of Economic Science, Macmillan, p. 16.
28. Blume, Lawrence E. (2008). "duality", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
29. Dixit, A. K. ([1976] 1990). Optimization in Economic Theory, 2nd ed., Oxford. Description and contents preview.
30. • Samuelson, Paul A., 1998. "How Foundations Came to Be", Journal of Economic Literature, 36(3), pp. 1375–1386.
       • _____ (1970)."Maximum Principles in Analytical Economics", Nobel Prize lecture.
31. • Allan M. Feldman (3008). "welfare economics", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
       • Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green (1995), Microeconomic Theory, Chapter 16. Oxford University Press, ISBN 0-19-510268-1. Description Naka-arkibo 2012-01-26 sa Wayback Machine. and contents Naka-arkibo 2012-01-26 sa Wayback Machine..
32. • Geanakoplos, John ([1987] 2008). "Arrow–Debreu model of general equilibrium", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
      • Arrow, Kenneth J., and Gérard Debreu (1954). "Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy", Econometrica 22(3), pp. 265-290.
33. • Scarf, Herbert E. (2008). "computation of general equilibria", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
      • Kubler, Felix (2008). "computation of general equilibria (new developments)", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
34. Nicola, p. 133
35. Dorfman, Robert, Paul A. Samuelson, and Robert M. Solow (1958). Linear Programming and Economic Analysis. McGraw–Hill. Chapter-preview links.
36. M. Padberg, Linear Optimization and Extensions, Second Edition, Springer-Verlag, 1999.
37. Dantzig, George B. ([1987] 2008). "linear programming", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
38. • Intriligator, Michael D. (2008). "nonlinear programming", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. TOC.
       • Blume, Lawrence E. (2008). "convex programming", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
       • Kuhn, H. W.; Tucker, A. W. (1951). "Nonlinear programming". Proceedings of 2nd Berkeley Symposium. Berkeley: University of California Press. pp. 481–492. {{cite conference}}: Unknown parameter |booktitle= ignored (|book-title= suggested) (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link)
39. • Bertsekas, Dimitri P. (1999). Nonlinear Programming (ika-Second (na) edisyon). Cambridge, Massachusetts.: Athena Scientific. ISBN 1-886529-00-0.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
       • Vapnyarskii, I.B. (2001), "Lagrange multipliers", sa Hazewinkel, Michiel (pat.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link).
       • Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. pp. xi+523. MR 0337317.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
       • Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems (ika-reprint of the 1970 Macmillan (na) edisyon). Mineola, New York: Dover Publications, Inc. pp. xiii+523. MR 1888251.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
       • Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Abstract duality for practitioners". Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Bol. 306. Berlin: Springer-Verlag. pp. 136–193 (and Bibliographical comments on pp. 334–335). ISBN 3-540-56852-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
40. Lemaréchal, Claude (2001). "Lagrangian relaxation". Sa Michael Jünger and Denis Naddef (pat.). Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Lecture Notes in Computer Science. Bol. 2241. Berlin: Springer-Verlag. pp. 112–156. doi:10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 3-540-42877-1. MR 1900016.[[Digital object identifier|doi]]:[//dx.doi.org/10.1007%2F3-540-45586-8_4 '"`UNIQ--nowiki-0000003E-QINU`"']. {{cite book}}: Check |mr= value (tulong); External link in |mr= (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link)
41. Pontryagin, L. S.; Boltyanski, V. G., Gamkrelidze, R. V., Mischenko, E. F. (1962). The Mathematical Theory of Optimal Processes. New York: Wiley. ISBN 68981. {{cite book}}: Check |isbn= value: length (tulong); External link in |title= (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link) CS1 maint: multiple names: mga may-akda (link)
42. • Zelikin, M. I. ([1987] 2008). "Pontryagin's principle of optimality", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Preview link.
       • Martos, Béla (1987). "control and coordination of economic activity", The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Description link.
       • Brock, W. A. (1987). "optimal control and economic dynamics", The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Outline.
       • Shell, K., ed. (1967). Essays on the Theory of Optimal Economic Growth. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. ISBN 0-262-19036-2. {{cite book}}: |first= has generic name (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link) CS1 maint: multiple names: mga may-akda (link)]
43. Stokey, Nancy L. and Robert E. Lucas with Edward Prescott (1989). Recursive Methods in Economic Dynamics, Harvard University Press, chapter 5. Desecription and chapter-preview links.
44. Malliaris, A.G. (2008). "stochastic optimal control", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
45. • Arrow, K. J.; Kurz, M. (1970). Public Investment, the Rate of Return, and Optimal Fiscal Policy. Baltimore, Maryland: The Johns Hopkins Press. ISBN 0-8018-1124-4.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) Abstract. Naka-arkibo 2013-03-09 sa Wayback Machine.
       • Sethi, S. P.; Thompson, G. L. (2000). Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics, Second Edition. New York: Springer. ISBN 0-7923-8608-6.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) Scroll to chapter-preview links.
46. Andrew McLennan, 2008. "fixed point theorems", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
47. Weintraub, E. Roy (1977). "General Equilibrium Theory". Sa Weintraub, Sidney (pat.). Modern Economic Thought. University of Pennsylvania Press. pp. 107–109. ISBN 0-8122-7712-0.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
       • Arrow, Kenneth J.; Debreu, Gérard (1954). "Existence of an equilibrium for a competitive economy". Econometrica. The Econometric Society. 22 (3): 265–290. doi:10.2307/1907353. ISSN 0012-9682. JSTOR 1907353.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
48. Kantorovich, Leonid, and Victor Polterovich (2008). "Functional analysis", in S. Durlauf and L. Blume, ed., The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract., ed., Palgrave Macmillan.
49. Kantorovich, L. V (1990). ""My journey in science (supposed report to the Moscow Mathematical Society)" [expanding Russian Math. Surveys 42 (1987), no. 2, pp. 233–270]". Sa Lev J. Leifman (pat.). Functional analysis, optimization, and mathematical economics: A collection of papers dedicated to the memory of Leonid Vitalʹevich Kantorovich. New York: The Clarendon Press, Oxford University Press. pp. 8–45. ISBN 0-19-505729-5. MR 0898626.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
50. Page 406: Polyak, B. T. (2002). "History of mathematical programming in the USSR: Analyzing the phenomenon (Chapter 3 The pioneer: L. V. Kantorovich, 1912–1986, pp. 405–407)". Mathematical Programming. Series B. Bol. 91, blg. ISMP 2000, Part 1 (Atlanta, GA). pp. 401–416. doi:10.1007/s101070100258. MR 1888984. {{cite news}}: More than one of |number= at |issue= specified (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link)
51. "Leonid Vitaliyevich Kantorovich — Prize Lecture ("Mathematics in economics: Achievements, difficulties, perspectives")". Nobelprize.org. Nakuha noong 12 Disyembre 2010.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
52. Aliprantis, Charalambos D.; Brown, Donald J.; Burkinshaw, Owen (1990). Existence and optimality of competitive equilibria. Berlin: Springer–Verlag. pp. xii+284. ISBN 3-540-52866-0. MR 1075992.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
53. Rockafellar, R. Tyrrell. Conjugate duality and optimization. Lectures given at the Johns Hopkins University, Baltimore, Maryland, June, 1973. Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Applied Mathematics, No. 16. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1974. vi+74 pp.
54. Lester G. Telser and Robert L. Graves Functional Analysis in Mathematical Economics: Optimization Over Infinite Horizons 1972. University of Chicago Press, 1972, ISBN 978-0-226-79190-6.
55. Neumann, John von, and Oskar Morgenstern (1944) Theory of Games and Economic Behavior, Princeton.
56. Mas-Colell, Andreu (1985). The Theory of general economic equilibrium: A differentiable approach. Econometric Society monographs. Cambridge UP. ISBN 0-521-26514-2. MR 1113262.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
57. Yves Balasko. Foundations of the Theory of General Equilibrium, 1988, ISBN 0-12-076975-1.
58. Creedy, John (2008). "Francis Ysidro (1845–1926)", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
59. • Nash, John F., Jr. (1950). "The Bargaining Problem", Econometrica, 18(2), pp. 155-162.
       • Serrano, Roberto (2008). "bargaining", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
60. • Smith,Vernon L. (1992). "Game Theory and Experimental Economics: Beginnings and Early Influences", in E. R. Weintraub, ed., Towards a History of Game Theory, pp. 241- 282.
       • _____ (2001). "Experimental Economics", International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences, pp. 5100-5108. Abstract per sect. 1.1 & 2.1.
       • Plott, Charles R., and Vernon L. Smith, ed. (2008). Handbook of Experimental Economics Results, v. 1, Elsevier, Part 4, Games, ch. 45–66 preview links^{[patay na link]}.
       • Shubik, Martin (2002). "Game Theory and Experimental Gaming", in R. Aumann and S. Hart, ed., Handbook of Game Theory with Economic Applications, Elsevier, v. 3, pp. 2327-2351. Abstract.
61. From The New Palgrave Dictionary of Economics (2008), 2nd Edition:
       • Gul, Faruk. "behavioural economics and game theory." Abstract.
       • Camerer, Colin F. "behavioral game theory." Abstract.
62. • Rasmusen, Eric (2007). Games and Information, 4th ed. Description and chapter-preview links.
       • Aumann, R., and S. Hart, ed. (1992, 2002). Handbook of Game Theory with Economic Applications v. 1, links at ch. 3-6 and v. 3, ch. 43.
63. • Tirole, Jean (1988). The Theory of Industrial Organization, MIT Press. Description Naka-arkibo 2010-03-15 sa Wayback Machine. and chapter-preview links, pp. vii-ix, "General Organization", pp. 5-6, and "Non-Cooperative Game Theory: A User's Guide Manual,' " ch. 11, pp. 423-59.
       • Bagwell, Kyle, and Asher Wolinsky (2002). "Game theory and Industrial Organization", ch. 49, Handbook of Game Theory with Economic Applications, v. 3, pp. 1851-1895.
64. • Shubik, Martin (1981). "Game Theory Models and Methods in Political Economy", in Handbook of Mathematical Economics,, v. 1, pp. (%23toc%2324615%231981%23999989999%23565707%23FLP%23display%23Volume)&_cdi=24615&_sort=d&_docanchor=&_ct=14&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=cb34198ec88c9ab8fa59af6d5634e9cf&searchtype=a 285-330.
65. • The New Palgrave Dictionary of Economics (2008), 2nd Edition:
         Myerson, Roger B. "mechanism design." Abstract.
         _____. "revelation principle." Abstract.
         Sandholm, Tuomas. "computing in mechanism design." Abstract.
       • Nisan, Noam, and Amir Ronen (2001). "Algorithmic Mechanism Design", Games and Economic Behavior, 35(1–2), pp. 166–196.
       • Nisan, Noam, et al., ed. (2007). Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press. Description Naka-arkibo 2012-05-05 sa Wayback Machine..
66. • Halpern, Joseph Y. (2008). "computer science and game theory", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
             • Shoham, Yoav (2008). "Computer Science and Game Theory", Communications of the ACM, 51(8), pp. 75-79 Naka-arkibo 2012-04-26 sa Wayback Machine..
             • Roth,Alvin E. (2002). "The Economist as Engineer: Game Theory, Experimentation, and Computation as Tools for Design Economics", Econometrica, 70(4), pp. 1341–1378 Naka-arkibo 2012-01-12 sa Wayback Machine..
67. • Kirman, Alan (2008). "economy as a complex system", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2nd Edition. Abstract.
       • Tesfatsion, Leigh (2003). "Agent-based Computational Economics: Modeling Economies as Complex Adaptive Systems", Information Sciences, 149(4), pp. 262-268 Naka-arkibo 2012-04-26 sa Wayback Machine..
68. Scott E. Page (2008), "agent-based models", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
69. • Holland, John H., and John H. Miller (1991). "Artificial Adaptive Agents in Economic Theory", American Economic Review, 81(2), pp. 365-370 Naka-arkibo 2011-01-05 sa Wayback Machine. p. 366.
       • Arthur, W. Brian, 1994. "Inductive Reasoning and Bounded Rationality", American Economic Review, 84(2), pp. 406-411 Naka-arkibo 2013-05-21 sa Wayback Machine..
       • Schelling, Thomas C. (1978 [2006]). Micromotives and Macrobehavior, Norton. Description, preview.
       • Sargent, Thomas J. (1994). Bounded Rationality in Macroeconomics, Oxford. Description and chapter-preview 1st-page links.
70. • Judd, Kenneth L. (2006). "Computationally Intensive Analyses in Economics", Handbook of Computational Economics, v. 2, ch. 17, Introduction, p. 883. Pp. 881- 893. Pre-pub PDF.
       • _____ (1998). Numerical Methods in Economics, MIT Press. Links to description Naka-arkibo 2012-02-11 sa Wayback Machine. and chapter previews.
71. • Tesfatsion, Leigh (2002). "Agent-Based Computational Economics: Growing Economies from the Bottom Up", Artificial Life, 8(1), pp.55-82. Abstract and pre-pub PDF Naka-arkibo 2013-05-14 sa Wayback Machine..
       • _____ (1997). "How Economists Can Get Alife", in W. B. Arthur, S. Durlauf, and D. Lane, eds., The Economy as an Evolving Complex System, II, pp. 533-564. Addison-Wesley. Pre-pub PDF Naka-arkibo 2012-04-15 sa Wayback Machine..
72. Tesfatsion, Leigh (2006), "Agent-Based Computational Economics: A Constructive Approach to Economic Theory", ch. 16, Handbook of Computational Economics, v. 2, part 2, ACE study of economic system. Abstract and pre-pub PDF Naka-arkibo 2017-08-11 sa Wayback Machine..
73. Axelrod, Robert (1997). The Complexity of Cooperation: Agent-Based Models of Competition and Collaboration, Princeton. Description, contents, and preview.
74. • Leombruni, Roberto, and Matteo Richiardi, ed. (2004), Industry and Labor Dynamics: The Agent-Based Computational Economics Approach. World Scientific Publishing ISBN 981-256-100-5. Description Naka-arkibo 2010-07-27 sa Wayback Machine. and chapter-preview links.
       • Epstein, Joshua M. (2006). "Growing Adaptive Organizations: An Agent-Based Computational Approach", in Generative Social Science: Studies in Agent-Based Computational Modeling, pp. 309 - 344. Description and abstract Naka-arkibo 2016-10-19 sa Wayback Machine..
75. Klosa, Tomas B., and Bart Nooteboom, 2001. "Agent-based Computational Transaction Cost Economics", Journal of Economic Dynamics and Control 25(3–4), pp. 503–52. Abstract.
76. Axtell, Robert (2005). "The Complexity of Exchange", Economic Journal, 115(504, Features), pp. F193-F210.
77. Sandholm, Tuomas W., and Victor R. Lesser (2001)."Leveled Commitment Contracts and Strategic Breach", Games and Economic Behavior, 35(1–2), pp. 212-270.
78. • Colander, David, Peter Howitt, Alan Kirman, Axel Leijonhufvud, and Perry Mehrling (2008). "Beyond DSGE Models: Toward an Empirically Based Macroeconomics", American Economic Review, 98(2), pp. 236-240. Pre-pub PDF Naka-arkibo 2010-06-22 sa Wayback Machine..
       • Sargent, Thomas J. (1994). Bounded Rationality in Macroeconomics, Oxford. Description and chapter-preview 1st-page links.
79. Tesfatsion, Leigh (2006), "Agent-Based Computational Economics: A Constructive Approach to Economic Theory", ch. 16, Handbook of Computational Economics, v. 2, pp. 832-865. Abstract and pre-pub PDF Naka-arkibo 2017-08-11 sa Wayback Machine..
80. Smith, Vernon L. (2008). "experimental economics", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.
81. Duffy, John (2006). "Agent-Based Models and Human Subject Experiments", ch. 19, Handbook of Computational Economics, v.2, pp. 949–101. Abstract.
82. • Namatame, Akira, and Takao Terano (2002). "The Hare and the Tortoise: Cumulative Progress in Agent-based Simulation", in Agent-based Approaches in Economic and Social Complex Systems. pp. 3- 14, IOS Press. Description Naka-arkibo 2012-04-05 sa Wayback Machine..
       • Fagiolo, Giorgio, Alessio Moneta, and Paul Windrum (2007). "A Critical Guide to Empirical Validation of Agent-Based Models in Economics: Methodologies, Procedures, and Open Problems", Computational Economics, 30, pp. 195^{[patay na link]}–226.
83. • Tesfatsion, Leigh (2006). "Agent-Based Computational Economics: A Constructive Approach to Economic Theory", ch. 16, Handbook of Computational Economics, v. 2, [pp. 831-880] sect. 5. Abstract and pre-pub PDF Naka-arkibo 2017-08-11 sa Wayback Machine..
       • Judd, Kenneth L. (2006). "Computationally Intensive Analyses in Economics", Handbook of Computational Economics, v. 2, ch. 17, pp. 881- 893. Pre-pub PDF.
       • Tesfatsion, Leigh, and Kenneth L. Judd, ed. (2006). Handbook of Computational Economics, v. 2. Description & and chapter-preview links.^{[patay na link]}