Maksima at minima

Sa matematika, ang maksimum at minimum (maramihan: maksima at minima) ng isang punsiyon na magkasamang tinatawag na ekstrema (isahan: ekstremum) - mga "kasukdulan" o mga "dulo't dulo" - ang pinakamalaki at pinakamaliit na mga halaga na kinukuha ng punsiyon sa isang punto na maaaring nasa ibinigay na kapitbahay (local o relative extremum) o sa sakop ng punsiyon sa kabuuan nito (global o absolute extremum).

Sa pangkalahatan, ang maximum at minimum ng isang pangkat (na inilalarawan sa teoriya ng pangkat) ang pinakamalaki at pinakamaliit na elemento sa pangkat. Ang mga hindi tinatakdaang walang hangganang mga pangkat (unbounded infinite sets) gaya ng pangkat ng mga real na bilang ay walang minima at maksima.

Ang paghahanap ng mga halagang ekstremum ang pangunahing layunin ng optimisasyon.

Depinisyong analitikal

Ang isang may halangang-real na punsiyong f na inilalarawan sa isang real na linya ay sinasabing may lokal (o relatibong) puntong maximum sa puntong x^∗ kung may umiiral na isang ε > 0 kung saan ang f(x^∗) ≥ f(x) sa tuwing ang |x − x^∗| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na maximum ng punsiyon. Gayundin, ang isang punsiyon ay may lokal na puntong minimum sa x^∗, kung ang f(x^∗) ≤ f(x) sa tuwing ang |x − x^∗| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na minimum ng punsiyon.

Ang isang punsiyon ay may global (o absolutong) puntong maximum sax^∗ kung ang f(x^∗) ≥ f(x) para sa lahat ng x. Gayundin, ang isang punsiyon ay mayglobal (o absolutong) puntong minimum sa x^∗ kung ang f(x^∗) ≤ f(x) para sa lahat ng x. Ang mga puntong global na maximum at global na minumum ay kilala bilang arg max at arg min: ang argumento (input) kung saan ang maximum(o minimum) ay umiiral.

Tinatakdaang mga sakop(Restricted domains): Maaaring may maxima at minima para isang punsiyon na ang sakop ay hindi kinabibilangan ng lahat ng mga real na bilang. Ang isang may halagang-real na punsiyon na ang sakop ay anumang pangkat ay maaaring magkaroon ng global na maximum at minimum. Maaari ring ito ay mayroong mga puntong lokal na maxima at lokal na minima ngunit tanging sa mga punto ng pangkat na sakop kung saan ang konseptong kapitbahayan(neighborhood) ay inilalarawan. Ang isang kapitbahayan ay gumagampan ng papel na pangkat ng x upang ang |x − x^∗| < ε.

Ang isang tuloy tuloy na punsiyon(may halagang-real) sa isang siksik na pangkat ay palaging kumukuha ng mga halagang maximum at minimum sa pangkat na ito. Ang isang mahalagang halimbawa ay isang punsiyon na ang sakop ay isang sarado(at tinakdaan) na interbal ng mga real na bilang. Ang pag-aatas ng kapitbahayan(neigborhood) ay hindi nagsasama ng isang lokal na maximum o minimum sa dulongpunto ng isang interbal. Gayunpaman, ang isang dulongpunto ay maaaring isa pa ring global na maximum o minimum. Kaya ito ay hindi palaging totoo para sa mga may hangganang

Paghahanap ng maxima at minima ng isang punsiyon

Ang paghahanap ng global na maxima at minima ang pangunahing layunin ng optimisasyon. Kung ang isang punsiyon ay tuloy-tuloy(continuous) sa isang saradong interbal, kung gayon sa pamamagitan ng halagang ekstremang teorema(extreme value theorem), ang global maxima at minima ay umiiral. Sa karagdagan, ang isang global na maximum(o minimum) ay dapat isang lokal na maximum(o minimum) sa loob ng sakop o dapat dumadapo sa hangganan ng sakop. Kaya ang paraan ng paghahanap ng isang global na maximum(o minium) ay ang pagtingin sa lahat ng mga lokal na maxima(o minima) sa loob gayunin sa maxima(o minima) ng mga punto sa hangganan at kunin ang pinakamalaki(o pinakamaliit) na halaga.

Ang lokal na extrema ay mahahanap sa pamamagitan ng Teorema ni Fermat na nagsasaad na ang mga ito ay dapat umiral sa mga puntong kritikal. Maaaring matukoy kung ang isang puntong kritikal ay isang lokal na maximum o lokal na minimum sa pamamagitan ng paggamit ng pagsubok ng unang deribatibo o pagsubok ng ikalawang deribatibo.

Para sa anumang punsiyon na inilalarawang piecewise, ang maxima(o minima) ay mahahanap sa pamamagitan ng paghahanap ng maximum(o minimum) ng bawat piraso nang magkahiwalay at titingnan ang pinakamalaki(o pinakamaliit) sa mga ito.

Mga halimbawa

Ang punsiyong x² ay may unikong(walang katulad) na global na minimum sa x = 0.
Ang punsiyong x³ ay walang global na minima o maxima. Bagaman ang unang deribatibong (3x²) ay 0 sa x = 0, ito ay isang puntong inpleksiyon.
Ang punsiyong ${\sqrt[{x}]{x}}$ ay may unikong global maximum sa x = e. (tingnan ang larawan sa kanan)
Ang punsiyong x^-x ay may unikong global maximum sa ibabaw ng mga positibong real na bilang sa x = 1/e.
Ang punsiyong x³/3 − x ay may unang deribatibong x² − 1 at ikalawang deribatibong 2x. Kung itatakda ang unang deribatibo sa 0 at lulutasin ang x, ito ay nagbibigay ng mga stasyonaryong punto sa −1 at +1. Mula sa senyas(sign) ikalawang deribatibo, makikita nating ang −1 ay isang local na maximum at ang +1 ay isang lokal na minimum. Pansinin na ang punsiyong ito ay walang global na maximum o minimum.
Ang punsiyong |x| ay may global na minimum sa x = 0 na hindi matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng mga deribatibo dahil ang deribatibo ay hindi umiiral sa x = 0.
Ang punsiyong cos(x) ay may walang hanggang maraming mga global maxima sa 0, ±2π, ±4π, …, at walang hanggang maraming mga global minima sa ±π, ±3π, ….
Ang punsiyong 2 cos(x) − x ay may walang hanggang maraming mga lokal na maxima at minima ngunit walang global na maximum o minimum.
Ang punsiyong cos(3πx)/x sa 0.1 ≤ x ≤ 1.1 ay may global na maximum sa x = 0.1 (na isang hanggananan), isang global minimum malapit sa x = 0.3, isang lokal na maximum malapit sa x = 0.6 at isang lokal na minimum malapit sa x = 1.0.
Ang punsiyong x³ + 3x² − 2x + 1 na inilalarawan sa ibabaw ng saradong interbal na [−4,2] ay may dalawang extrema: isang lokal na maximum sa x = −1−^√15⁄₃, isang lokal na minimum sa x = −1+^√15⁄₃, isang global na maximum sa x = 2 at isang global na minimum sa x = −4.