เมทริกซ์มึลเลอร์

เมทริกซ์มึลเลอร์ (Mueller matrix) เป็นเมทริกซ์ที่มี 4 แถว 4 หลัก ถูกเสนอขึ้นโดยฮันส์ มึลเลอร์ ในช่วงทศวรรษที่ 1940 เพื่อจัดการการคำนวณของตัวแปรเสริมสโตกส์ ที่แสดงถึงโพลาไรเซชันของแสง

ผลจากส่วนประกอบเชิงแสงต่าง ๆ สามารถถูกจำลองขึ้นได้ด้วยการใช้วิธีการคำนวณด้วยเมทริกซ์มึลเลอร์ เมทริกซ์ 4x4 นี้เป็นรูปแบบที่ใช้ซึ่งใช้ได้ทั่วไปกว่าเมทริกซ์โจนส์

แสงไม่มีโพลาไรซ์ หรือโพลาไรซ์บางส่วนจะต้องคำนวณโดยใช้เมทริกซ์มึลเลอร์ ในขณะที่แสงโพลาไรซ์ทั้งหมดสามารถประมวลผลได้ด้วยทั้งเมทริกซ์มึลเลอร์และเมทริกซ์โจนส์

คำนิยาม

ถ้าลำแสงอยู่ในสถานะซึ่งกำหนดโดย เวกเตอร์สโตกส์ ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}}$ ผ่านองค์ประกอบแสงที่กำหนดโดยเมทริกซ์มึลเลอร์ ${\displaystyle \mathrm {M} }$ สถานะที่ได้เป็น ${\displaystyle {\vec {S}}_{o}}$ จะคำนวณได้โดย

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} {\vec {S}}_{i}}$

หากลำแสงผ่านองค์ประกอบทางแสง M₁ ตามด้วยองค์ประกอบ M₂ และ M₃ แล้ว สามารถเขียนเป็น

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}{\big (}\mathrm {M} _{2}(\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}){\big )}\ }$

เนื่องจากการคูณเมทริกซ์มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เราจึงเขียนได้ว่า:

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\ .}$

การคูณเมทริกซ์ไม่มีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นโดยทั่วไป:

${\displaystyle \mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\neq \mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}{\vec {S}}_{i}\ .}$

คำอธิบาย

ต่อไปนี้จะแสดงตัวอย่างองค์ประกอบทางแสงแต่ละชนิดซึ่งแสดงโดยเมทริกซ์มึลเลอร์

สสารไอโซทรอปิกที่ไม่มีการดูดกลืน

• สำหรับในพื้นที่ว่างหรือในสสารไอโซโทรปิกซึ่งไม่เกิดการดูดกลืนทางแสงจะได้เมทริกซ์มึลเลอร์เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

สสารไอโซทรอปิกที่มีการดูดกลืน

• สสารไอโซทรอปิกที่มีค่าความส่งผ่าน T (0<T<1) จะได้ว่า

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}T&0&0&0\\0&T&0&0\\0&0&T&0\\0&0&0&T\\\end{pmatrix}}}$

โพลาไรเซอร์เชิงเส้น

โพลาไรเซอร์เชิงเส้นที่มีมุมการหมุนเป็น${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle M_{pola}=1/2{\begin{pmatrix}1&\cos(2\alpha )&\sin(2\alpha )&0\\\cos(2\alpha )&\cos ^{2}(2\alpha )&\cos(2\alpha )\sin(2\alpha )&0\\\sin(2\alpha )&\cos(2\alpha )\sin(2\alpha )&\sin ^{2}(2\alpha )&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

• สำหรับโพลาไรเซอร์เชิงเส้นที่ทำมุมแนวตั้ง (${\displaystyle \alpha =90}$ องศา)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

• ถ้าทำมุมแนวนอน (${\displaystyle \alpha =0}$ องศา)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

• ถ้าเอียงทำมุม ${\displaystyle \alpha =+45}$ องศา

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

• ถ้าเอียงทำมุม ${\displaystyle \alpha =-45}$ องศา

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

แผ่นหน่วงคลื่น

สำหรับแผ่นหน่วงคลื่นซึ่งมีค่าความต่างเฟสระหว่างแกนช้ากับแกนเร็วเป็น ${\displaystyle \delta }$ และมุมแกนเร็วเป็น ${\displaystyle \alpha }$ จะได้เมทริกซ์มึลเลอร์ในรูปทั่วไปเป็น

${\displaystyle M_{\delta }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\delta )\sin ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\alpha )&(1-\cos(\delta ))\cos(2\alpha )\sin(2\alpha )&-\sin(\delta )\sin(2\alpha )\\0&(1-\cos(\delta ))\cos(2\alpha )\sin(2\alpha )&\cos(\delta )\cos ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\alpha )&\sin(\delta )\cos(2\alpha )\\0&\sin(\delta )\sin(2\alpha )&-\sin(\delta )\cos(2\alpha )&\cos(\delta )\\\end{pmatrix}}}$

• กรณีของแผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่น (${\displaystyle \delta =\lambda /4}$)

${\displaystyle M_{\lambda /4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos ^{2}(2\alpha )&\cos(2\alpha )\sin(2\alpha )&-\sin(2\alpha )\\0&\cos(2\alpha )\sin(2\alpha )&\sin ^{2}(2\alpha )&\cos(2\alpha )\\0&\sin(2\alpha )&-\cos(2\alpha )&0\\\end{pmatrix}}}$

• ถ้าแกนเร็วอยู่แนวตั้ง (${\displaystyle \alpha =90}$)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$

• ถ้าแกนเร็วอยู่แนวนอน (${\displaystyle \alpha =0}$)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}}$

• กรณีของแผ่นหน่วงคลื่นแบบครึ่งคลื่น (${\displaystyle \delta =\lambda /2}$)

${\displaystyle M_{\lambda /2}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos ^{2}(2\alpha )-\sin ^{2}(2\alpha )&2\cos(2\alpha )\sin(2\alpha )&0\\0&2\cos(2\alpha )\sin(2\alpha )&\sin ^{2}(2\alpha )-\cos ^{2}(2\alpha )&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$

ตัวเลื่อนเฟส

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\0&0&\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}}$

อ้างอิง

• F. Bréhat - B. Wyncke, Représentation des états de polarisation des ondes lumineuses Publibook - ISBN 274830216-8
• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6 (ISBN 0-8194-5868-6)
• E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X (ISBN 0-201-11609-X)
• W.A. Shurcliff Polarized Light: Production and Use (1980) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ISBN 978-0317080513