ดีเทอร์มิแนนต์

ในสาขาพีชคณิต ดีเทอร์มิแนนต์ (อังกฤษ: determinant) คือฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของ n ในมิติ n×n ของเมทริกซ์จัตุรัส A ส่วนความหมายทางเรขาคณิตเบื้องต้น ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวประกอบมาตราส่วน (scale factor) ของปริมาตร เมื่อ A ถูกใช้เป็นการแปลงเชิงเส้น ดีเทอร์มิแนนต์ถูกใช้ประโยชน์ในเรื่องพีชคณิตเชิงหลายเส้น (multilinear algebra) และแคลคูลัสซึ่งใช้สำหรับกฎการแทนที่ (substitution rule) ในตัวแปรบางกลุ่ม

สำหรับจำนวนเต็มบวก n ที่กำหนดขึ้น ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์จะมีเพียงหนึ่งเดียวบนเมทริกซ์มิติ n×n เหนือริงสลับที่ใด ๆ (commutative ring) โดยเฉพาะเมื่อฟังก์ชันนี้นิยามไว้บนริงสลับที่ที่เป็นฟีลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A สามารถเขียนแทนได้ด้วย det (A) หรือ |A| ซึ่งสัญกรณ์แบบขีดตั้งอาจเกิดความกำกวม เนื่องจากมีการใช้สัญกรณ์เดียวกันนี้สำหรับค่าประจำเมทริกซ์ (matrix norm) และค่าสัมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ค่าประจำเมทริกซ์มักจะเขียนด้วยสัญกรณ์แบบขีดตั้งสองขีด (เช่น ‖A‖) เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับดีเทอร์มิแนนต์

ตัวอย่างการใช้งาน กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ดังนี้

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}$

ดีเทอร์มิแนนต์ของ A สามารถเขียนเป็น

${\displaystyle \det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$

ซึ่งวงเล็บเหลี่ยมนอกเมทริกซ์จะถูกแทนที่ด้วยเส้นตั้งเพียงอย่างเดียว

เมทริกซ์มิติ 2×2

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจากเมทริกซ์มิติ 2×2 เพื่ออธิบายค่าของดีเทอร์มิแนนต์

กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 2×2

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ

${\displaystyle \det(A)=ad-bc\,}$

ซึ่งแปลความหมายได้ว่า เป็นการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0), (a, b), (a+c, b+d), และ (c, d) เมื่อเมทริกซ์นั้นมีสมาชิกเป็นจำนวนจริง พื้นที่ที่คำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนต์เหมือนกับพื้นที่ในเรขาคณิต แต่ต่างกันตรงที่ผลลัพธ์จากดีเทอร์มิแนนต์สามารถเป็นค่าติดลบได้ ถ้าจุดยอดดังกล่าวเรียงลำดับตามเข็มนาฬิกา

เมทริกซ์มิติ 3×3

กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 3×3

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}$

ด้วยการกระจายลาปลัส (หรือการกระจายโคแฟกเตอร์) บนแถวแรกของเมทริกซ์ เราจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg\\&=(aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb)\end{aligned}}}$

ซึ่งสูตรนี้สามารถจำได้จากผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงลง ลบด้วยผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงขึ้น (ลงบวก ขึ้นลบ) โดยคัดลอกสองหลักแรกไปต่อท้ายเมทริกซ์เดิม ดังที่แสดงไว้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{matrix}\color {blue}a&\color {blue}b&\color {blue}c&a&b\\d&\color {blue}e&\color {blue}f&\color {blue}d&e\\g&h&\color {blue}i&\color {blue}g&\color {blue}h\end{matrix}}\quad -\quad {\begin{matrix}a&b&\color {red}c&\color {red}a&\color {red}b\\d&\color {red}e&\color {red}f&\color {red}d&e\\\color {red}g&\color {red}h&\color {red}i&g&h\end{matrix}}}$

โปรดทราบว่าวิธีลัดนี้ไม่สามารถใช้กับเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่านี้ได้

เมทริกซ์จัตุรัสทั่วไป

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสทั่วไปสามารถคำนวณได้จากการกระจายลาปลัสบนแถวหรือคอลัมน์หนึ่งๆ ซึ่งมีประสิทธิภาพสำหรับเมทริกซ์มิติน้อย ดีเทอร์มิแนนต์จากสูตรของลาปลัสโดยพิจารณาบนแถวที่ i คำนวณได้จาก

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}C_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}(-1)^{i+j}M_{i,j}}$

เมื่อ ${\displaystyle M_{i,j}}$ คือไมเนอร์ (minor) บนแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A นั่นคือค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่ตัดสมาชิกแถวที่ i หลักที่ j ออกไปทั้งหมด ส่วน ${\displaystyle C_{i,j}}$ คือโคแฟกเตอร์ (cofactor) บนแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A ซึ่งมีค่าเท่ากับ ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$ คูณด้วยไมเนอร์ ดังเช่นที่ปรากฏอยู่ในสูตร

คุณสมบัติ

คุณสมบัติทั่วไปของดีเทอร์มิแนนต์มีดังนี้

• ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)\,}$
• ${\displaystyle \det(rI_{n})=r^{n}\,}$
• ${\displaystyle \det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,}$
• ${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}\,}$ เมื่อเมทริกซ์ A มีเมทริกซ์ผกผัน
• ${\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)\,}$ เมื่อ A^T แทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยน ของ A
• ${\displaystyle \det(A^{*})=\det(A)^{*}\,}$ เมื่อ A^* แทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค ของ A