เลขคณิตมอดุลาร์

เลขคณิตมอดุลาร์ (Modular arithmetic) เป็นระบบเลขคณิตที่มีรากฐานมาจากระบบจำนวนเต็มทั่วไป แต่จำนวนในระบบนี้จะมีการหมุนกลับในลักษณะเดียวกันกับเข็มนาฬิกาเมื่อมีค่าถึงค่าบางค่าที่กำหนดไว้ ซึ่งค่านี้จะเรียกว่า มอดุลัส กล่าวคือ ตัวเลขที่มีค่าเกินค่าของมอดุลัส จะถูกปรับค่าให้เป็นเศษของจำนวนนั้นเมื่อหารด้วยมอดุลัส ยกตัวอย่างเช่น ภายใต้มอดุลัสที่เป็น ${\displaystyle 9}$ เลข ${\displaystyle 13}$ จะถูกปรับให้เหลือ ${\displaystyle 4}$ หรือ ผลบวกของ ${\displaystyle 4}$ กับ ${\displaystyle 7}$ ก็คือ ${\displaystyle 2}$

การสมภาคกันของจำนวน

เราจะกล่าวว่าจำนวนเต็ม ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ สมภาคกัน ภายใต้มอดุโล ${\displaystyle m}$ ได้เมื่อผลต่างของสองจำนวนนั้นสามารถหารลงตัวได้ด้วย ${\displaystyle m}$ หรืออาจจะกล่าวได้อีกอย่างคือ จำนวนเต็ม ${\displaystyle a}$ กับ ${\displaystyle b}$ เมื่อหารด้วย ${\displaystyle m}$ จะเหลือเศษเท่ากัน การสมภาคกันของ ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ สามารถเขียนได้ในรูป

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 26\equiv 14{\pmod {12}}}$

ความสัมพันธ์ของการสมภาคกันเป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) และชั้นสมมูล (equivalence class) ของจำนวนเต็ม a สามารถเขียนได้ในรูป [a]_n ซึ่งความสัมพันธ์สมมูลตัวนี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกหลายอย่าง ยกตัวอย่างเช่น: ถ้า

${\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {m}}}$

และ

${\displaystyle a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {m}}}$

แล้ว

${\displaystyle a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {m}}}$

และ

${\displaystyle a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {m}}}$

ประวัติ

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เป็นผู้นำเสนอเลขคณิตมอดุลาร์ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ในปีค.ศ. 1801 (พ.ศ. 2344)

คุณสมบัติ

ถ้า a ≡ b (mod n) แล้ว และ b ≡ c (mod n), ดังนั้น a ≡ c (mod n)

• สมบัติการสลับที่ :

ดูเพิ่ม

• กรุปการคูณของจำนวนเต็มมอดุโล n
• ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน

แหล่งข้อมูลอื่น

• ในบทความ modular art^{[ลิงก์เสีย]} แสดงการประยุกต์ใช้เลขคณิตมอดุลาร์ในดนตรี