สูตรการสะท้อน

ในทางคณิตศาสตร์ สูตรการสะท้อน หรือ ความสัมพันธ์การสะท้อน (reflection formula/relation) สำหรับฟังก์ชัน f คือสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง f(x) กับ f(a−x) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของสมการเชิงฟังก์ชัน (functional equation) สูตรการสะท้อนมีประโยชน์ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขสำหรับฟังก์ชันพิเศษอื่นๆ

สูตรที่เป็นที่รู้จัก

ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่มีความสัมพันธ์สะท้อนเมื่อ a = 0 นั่นคือ สำหรับทุกฟังก์ชันคู่ จะได้ f(−x) = f(x) และสำหรับทุกฟังก์ชันคี่ จะได้ f(−x) = −f(x)

ความสัมพันธ์อันหนึ่งที่เป็นที่รู้จักกันดีคือ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ (Euler's reflection formula)

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}}$

สำหรับฟังก์ชันแกมมาที่นิยามโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์

นอกจากนี้ยังมีสูตรการสะท้อนสำหรับฟังก์ชันโพลีแกมมา (polygamma function) อันดับที่ n ในสัญกรณ์ ψⁿ(z) ดังนี้

${\displaystyle \psi ^{n}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{n}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {\pi z}}$

ในฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) ก็มีความสัมพันธ์การสะท้อน

${\displaystyle \zeta (1-z)=2(2\pi )^{-z}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right)\Gamma (z)\zeta (z)}$

และในฟังก์ชันไซ (xi function) ในสัญกรณ์ ξ(z) ก็มีเช่นกัน คือ

${\displaystyle \xi (z)=\xi (1-z)\!}$

อ้างอิง

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Reflection Relation" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Polygamma Function" จากแมทเวิลด์.