ลิมิตของฟังก์ชัน

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้อกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน (sin x)/x จะไม่นิยามที่ 0 แต่เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 มาก ๆ แล้ว (sin x)/x มีค่าเข้าใกล้ 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ (sin x)/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ  1

นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน f จะรับค่า x แล้วคืนค่าออกมาคือ f(x) เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีลิมิต L ที่จุด p ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะเข้าใกล้ L มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า x ที่เข้าใกล้ค่า p ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ

แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย

แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน ปริภูมิอิงระยะทาง และปริภูมิทอพอโลยี อีกด้วย

ประวัติ

ดูที่ คณิตวิเคราะห์

นิยามเป็นทางการ

นิยามแบบ (ε, δ) ของลิมิต

กำหนดให้ ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$ เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ ${\displaystyle p,L\in \mathbb {R} }$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ ${\displaystyle p\in (a,b)}$ เราจะกล่าวว่าลิมิตของ ${\displaystyle f}$ เมื่อ ${\displaystyle x}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle p}$ คือ ${\displaystyle L}$ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับทุกค่า ${\displaystyle \varepsilon >0}$ จะมีจำนวนจริง ${\displaystyle \delta >0}$ ที่ทำให้สำหรับทุกค่า ${\displaystyle x}$ ถ้า ${\displaystyle 0<\left\vert x-p\right\vert <\delta }$ แล้ว ${\displaystyle \left\vert f(x)-L\right\vert <\varepsilon }$

ถ้าลิมิตของ ${\displaystyle f}$ เมื่อ ${\displaystyle x}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle p}$ คือ ${\displaystyle L}$ แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น

${\displaystyle f(x)\to L}$ เมื่อ ${\displaystyle x\to p}$ (อ่านว่า "${\displaystyle f(x)}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle L}$ เมื่อ ${\displaystyle x}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle p}$")

สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ ${\displaystyle f}$ ที่จุด ${\displaystyle p}$ ยิ่งไปกว่านั้น ${\displaystyle f(p)}$ ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง

กำหนดให้ f : (M,d_M) -> (N,d_N) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า:${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ สำหรับทุก ๆ x ∈M และ d_M(x, p) < δ แล้ว, d_N(f(x), L) < ε

ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง

ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้ว ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$ เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.

หรือเราจะเขียน ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty }$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) > R;

หรือจะเขียนว่า ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty }$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) < R.

ถ้าในนิยาม เราใช้ x-p แทน |x-p| เราก็จะได้ ลิมิตขวา เขียนแทนโดย :${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}}$ และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย :${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}}$

ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์

จะมีลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์ ถ้า สำหรับ ε > 0 ใดๆ มี S > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ทำให้ |f(x)-L| < ε สำหรับ x > S ใดๆ

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เราจะเขียน

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}$

ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น ${\displaystyle d(x,y):=|x-y|}$ จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง

สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ ซึ่ง 0<|x-p|<δ จะได้ |f(x)-L|<ε

นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นระนาบเชิงซ้อน

ลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์

เราจะเขียน

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}$

ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใด ๆ เราจะได้ |f(x)-L|<ε

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันค่าจริง

${\displaystyle \lim _{x\to 3}x^{2}=9}$	ลิมิตของ x2 เมื่อ x เข้าใกล้ 3 คือ 9 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง และค่าของมันมีนิยามที่จุดนั้น ค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าฟังก์ชัน
${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}$	ลิมิตของ xx เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ 1
${\displaystyle \lim _{x\to 0}{1 \over x}={\mbox{Undefined}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty }$	ลิมิตสองด้านของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีนิยาม ลิมิตของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ +∞
${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{|x| \over x}=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{|x| \over x}=-1}$	ลิมิตด้านเดียวของ |x|/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 1 จากด้านบวกและคือ -1 จากด้านลบ สังเกตว่า |x|/x = -1 เมื่อ x เป็นลบ และ |x|/x = 1 เมื่อ x เป็นบวก
${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\sin {1 \over x}=1}$	ลิมิตของ x sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 0
${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }x^{-a}=0{\mbox{ if }}a\in \mathbb {R} ;a>0;x\in \mathbb {C} }$	ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใด ๆ เข้าใกล้ 0 เมื่อขนาดของ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{x^{a} \over b^{x}}=0{\mbox{ if }}a,b\in \mathbb {R} ;b>0}$	ฟังก์ชันยกกำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\log _{b}x \over x^{a}}=0{\mbox{ if }}a,b\in \mathbb {R} ;a>0;b>0}$	ฟังก์ชันลอการิทึมใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันยกกำลังที่เป็นบวกใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{a^{x} \over x!}=0{\mbox{ if }}a\in \mathbb {R} }$	ฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันแฟกทอเรียลใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง

• ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |z| < 1 แล้วลำดับ z, z², z³, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
• ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)

คุณสมบัติ

ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ p คือ L" เหมือนกับประโยค

"สำหรับลำดับลู่เข้า (x_n) ใน M ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ pลำดับ (f(x_n)) ลู่เข้าสู่ลิมิต L"

ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ p คือ L"

ฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง ที่ p ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ p และค่านั้นเท่ากับ f(p) หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน f แปลงลำดับใด ๆ ใน M ซึ่งสู่เข้าหา p ไปเป็นลำดับ N ซึ่งลู่เข้าหา f(p)