ลอการิทึม

ลอการิทึม (อังกฤษ: logarithm) เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ค่าลอการิทึมของจำนวนหนึ่งโดยกำหนดฐานไว้ให้ จะมีค่าเทียบเท่ากับ การเอาฐานมายกกำลังค่าลอการิทึม ซึ่งจะให้คำตอบเป็นจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น

• ลอการิทึมของ 1000 ในฐาน 10 มีค่าเป็น 3 เพราะว่า 10 คูณกัน 3 ตัวแล้วได้ 1000 นั่นคือ 10 × 10 × 10 = 1000
• ลอการิทึมของ 32 ในฐาน 2 มีค่าเป็น 5 เพราะว่า 2 คูณกัน 5 ตัวแล้วได้ 32 นั่นคือ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมในฐานต่าง ๆ สีแดงคือฐาน e สีเขียวคือฐาน 10 สีม่วงคือฐาน 1.7 กราฟทุกเส้นผ่านจุด (1, 0) เนื่องจากจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลัง 0 แล้วได้ 1 และกราฟทุกเส้นผ่านจุด (b, 1) สำหรับฐาน b เพราะว่าจำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 แล้วได้ค่าเดิม เส้นโค้งทางซ้ายเข้าใกล้แกน y แต่ไม่ตัดกับแกน y เพราะมีภาวะเอกฐานอยู่ที่ x = 0 (เส้นกำกับในแนวดิ่ง)

ถ้าเขียนด้วยสัญลักษณ์ยกกำลังจะได้ว่า

• 10³ = 1000 ดังนั้น log₁₀ 1000 = 3
• 2⁵ = 32 ดังนั้น log₂ 32 = 5

ลอการิทึมของ x ในฐาน b เขียนแทนด้วย log_b x หรือถ้าฐานมีค่าใด ๆ เป็นปริยาย จะเขียนเพียงแค่ log x (ไม่จำเป็นต้องใส่วงเล็บรอบ x) ดังนั้นสำหรับจำนวน x ฐาน b และเลขชี้กำลัง y ที่สามารถเป็นไปได้

${\displaystyle x=b^{y}\,\Rightarrow \,y=\log _{b}x\!}$

คุณลักษณะหนึ่งที่สำคัญของลอการิทึมคือการลดทอนการคูณไปเป็นการบวกดังนี้

${\displaystyle \log xy=\log x+\log y\!}$

หมายความว่า ลอการิทึมของผลคูณของสองจำนวน จะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของแต่ละจำนวน การใช้ลอการิทึมเพื่อลดทอนการคำนวณที่ซับซ้อนเป็นหนึ่งในแรงผลักดันอย่างมีนัยสำคัญในการพัฒนาที่มีมาแต่เดิม มีการใช้งานลอการิทึมอย่างกว้างขวางทั้งในงานสถิติศาสตร์ เคมี ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เศรษฐศาสตร์ ดนตรี และวิศวกรรมศาสตร์

สมบัติ

บทความหลัก: รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึม

เมื่อ x และ b ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริงบวก log_b x จะให้ผลเป็นจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียว ขนาดหรือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของฐาน b จะต้องไม่เป็น 0 หรือ 1 แต่โดยทั่วไปฐานของลอการิทึมจะเป็น 10, e หรือ 2 มีการนิยามลอการิทึมสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนด้วย ^[1][2]

สมบัติหลักของลอการิทึมคือการลดทอนการคูณไปเป็นการบวก ซึ่งพัฒนาจากเอกลักษณ์ของการยกกำลัง

${\displaystyle b^{x}\times b^{y}=b^{x+y}\!}$

เมื่อใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า

${\displaystyle \log _{b}\left(b^{x}\times b^{y}\right)=\log _{b}b^{x+y}=x+y=\log _{b}b^{x}+\log _{b}b^{y}\!}$

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 4=2^{2}\,\Rightarrow \,\log _{2}4=2\!}$

${\displaystyle 8=2^{3}\,\Rightarrow \,\log _{2}8=3\!}$

${\displaystyle \log _{2}32=\log _{2}(4\times 8)=\log _{2}4+\log _{2}8=2+3=5\!}$

สมบัติที่เกี่ยวข้องคือการลดรูปยกกำลังไปเป็นการคูณ โดยใช้เอกลักษณ์นี้

${\displaystyle c=b^{\log _{b}c}}$

ซึ่งเมื่อนำ c ไปยกกำลัง p จะได้ว่า

${\displaystyle c^{p}=\left(b^{\log _{b}c}\right)^{p}=b^{p\log _{b}c}}$

กล่าวโดยนัยได้ว่า การหาค่าจำนวนหนึ่งที่ยกกำลัง p ก่อนอื่นให้หาค่าลอการิทึมฐาน b ของจำนวนนั้นแล้วคูณด้วย p แล้วใส่ผลคูณเป็นเลขชี้กำลังกลับไปยังฐาน b นั่นคือ จำนวนที่ยกกำลัง = b ^{(ผลคูณ)}

หรือใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า

${\displaystyle \log _{b}c^{p}=p\log _{b}c\!}$

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}4^{3}=3\log _{2}4=6\!}$

นอกจากการลดรูปการคูณเป็นการบวก และการยกกำลังเป็นการคูณแล้ว ลอการิทึมยังสามารถลดรูปการหารเป็นการลบ และรากเป็นการหาร เช่น

${\displaystyle \log _{2}16=\log _{2}{\tfrac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4}$

${\displaystyle \log _{2}{\sqrt[{3}]{4}}={\tfrac {1}{3}}\log _{2}4={\tfrac {2}{3}}}$

ลอการิทึมทำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อันยืดยาวให้คำนวณง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็นการคูณหรือการบวก สำหรับการคำนวณด้วยมือโดยประมาณ สามารถทำได้โดยการเทียบค่าจากตารางลอการิทึม หรือใช้สไลด์รูล สำหรับลอการิทึมสามัญ มีสมบัติหนึ่งที่ปรากฏในการใช้ตารางที่ว่า ลำดับตัวเลขใด ๆ ที่มีค่าเดียวกัน แต่มีค่าประจำหลักต่างกัน จะยังคงให้ แมนทิสซา (mantissa) ค่าเดียวกัน และต่างกันเพียงแค่ แคแรกเทอริสติก (characteristic)

ฟังก์ชันลอการิทึม

สารานุกรมบริตานิกา ค.ศ. 1797 ให้ความหมายลอการิทึมว่า "ชุดของจำนวนในการก้าวหน้าเลขคณิต ซึ่งสอดคล้องกับการก้าวหน้าเรขาคณิต นั่นหมายความว่า การคำนวณเลขคณิตสามารถทำให้ง่ายและรวดเร็วมากขึ้นกว่าวิธีอื่น"

ถึงแม้ว่าลอการิทึมเป็นแนวคิดดั้งเดิมของลำดับเลขคณิตของจำนวน ที่สอดคล้องกับลำดับเรขาคณิตของจำนวนอื่น (จำนวนจริงบวก) ดังเช่นที่ให้ความหมายไว้ในสารานุกรมบริตานิกา ค.ศ. 1797 ลอการิทึมยังเป็นผลลัพธ์จากการใช้ฟังก์ชันวิเคราะห์ ฟังก์ชันนั้นสามารถมีความหมายที่ขยายออกไปบนจำนวนเชิงซ้อนได้

ค่าของฟังก์ชัน log_b x ขึ้นอยู่กับ b และ x ทั้งสองตัว แต่สำหรับฟังก์ชันลอการิทึมในการใช้งานตามปกติคือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ log_b (x) โดยที่ฐาน b เป็นค่าเดียวคงที่ (ซึ่งต้องเป็นจำนวนบวกและไม่เท่ากับ 1) และมี x เป็นอาร์กิวเมนต์เท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงทำให้ฟังก์ชันลอการิทึมของแต่ละค่าบนฐาน b ให้ผลลัพธ์เพียงค่าเดียว ด้วยมุมมองนี้จึงทำให้ฟังก์ชันลอการิทึมฐาน b เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง b^x บ่อยครั้งที่คำว่า "ลอการิทึม" หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมโดยตัวมันเองหรือหมายถึงค่าที่ออกมาจากฟังก์ชัน

ลอการิทึมของจำนวนลบหรือจำนวนเชิงซ้อน

บทความหลัก: ลอการิทึมเชิงซ้อน

มีเพียงจำนวนจริงบวกเท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์ของลอการิทึมเป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันลอการิทึมสามารถขยายไปได้บนจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งครอบคลุมจำนวนลบด้วย และให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อน แต่ค่าของมันอาจมีมากกว่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น e^2πi = e⁰ = 1 ซึ่งจะทำให้ลอการิทึมฐาน e ของ 1 มีผลลัพธ์เป็นทั้ง 2πi และ 0

เมื่อ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่งซึ่งเขียนได้ในรูปแบบ x + iy โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง ลอการิทึมของ z สามารถหาได้จากการแปลงเป็นรูปแบบเชิงขั้ว นั่นคือ

${\displaystyle z=r\mathrm {e} ^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )\!}$

โดยที่ r และ θ มาจาก

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arg(z)\!}$ คือมุมใดก็ได้ที่ทำให้ y/x = tan θ ซึ่งอาจมีมากกว่าหนึ่งค่า

ถ้าฐานของลอการิทึมถูกเลือกเป็นค่า e นั่นคือใช้ log_e หรือ ln อันหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ ดังนั้นลอการิทึมเชิงซ้อนของ z คำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle \log(z)=\ln |z|+i\arg(z)=\ln r+i(\theta +2\pi k)\!}$

แต่เนื่องจาก arg เป็นฟังก์ชันที่มีผลลัพธ์หลายค่า ดังนั้นจึงมีการนิยามฟังก์ชันใหม่ของลอการิทึมคือ Log (ขึ้นต้นอักษรตัวใหญ่) ซึ่งจะให้ค่าเพียงค่าเดียวดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln |z|+i\operatorname {Arg} (z)=\ln r+i\varphi \!}$

โดยที่ φ จะให้ค่าเพียงค่าเดียวในช่วง (−π, π] ซึ่งมีความหมายเหมือนกับ φ ≡ θ (mod 2π) และ Arg คือฟังก์ชันที่ให้ค่ามุมเพียงค่าเดียวในช่วงดังกล่าว ซึ่งเป็นการนิยามเพิ่มเติมจากฟังก์ชัน arg ฟังก์ชัน Arg นี้เมื่อใช้กับจำนวนจริงจะคืนค่าเป็น 0 ออกมา ซึ่งส่งผลให้พจน์ที่เป็นจำนวนจินตภาพถูกตัดทิ้งไป เหลือแต่ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงเท่านั้น

ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงลบ r หาได้จากสูตร

${\displaystyle \operatorname {Log} (r)=\ln |r|+i\pi \!}$

สำหรับลอการิทึมฐานอื่นที่ไม่ใช่ e ลอการิทึมเชิงซ้อน log_b (z) สามารถนิยามได้จาก ln (z) / ln (b) ซึ่งแต่ละพจน์ได้นิยามวิธีการคำนวณไว้แล้ว

ในกรณีที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน log z^p อาจมีค่าไม่เท่ากับ p log z เสมอไป

ทฤษฎีสรุป

จากมุมมองขั้นต้นทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์นี้

${\displaystyle \log cd=\log c+\log d\!}$

เป็นพื้นฐานของสองเรื่อง ประการแรกคือสมบัติเชิงเลขคณิตทั้งสามอาทิ สมบัติการสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การแจกแจง จะยังคงมีอยู่ ประการที่สองคือเอกลักษณ์นี้แสดงให้เห็นสมสัณฐาน (isomorphism) ระหว่างกรุปการคูณของจำนวนจริงบวกกับกรุปการบวกของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชันลอการิทึมเท่านั้นที่เป็นสมสัณฐานอย่างต่อเนื่องระหว่างกรุปดังกล่าว

ฐาน

ปกติแล้วฐานของลอการิทึมที่ใช้กันอย่างกว้างขวางได้แก่ 10, e ≈ 2.71828… และ 2 เมื่อเราเขียนว่า "log" โดยไม่ปรากฏฐาน (b ที่หายไปจาก log_b) ความหมายของฐานที่ใช้ขึ้นอยู่กับบริบทดังนี้

• ลอการิทึมธรรมชาติ (log_e, ln, log, Ln) ในทางคณิตวิเคราะห์ สถิติศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ และบางแขนงวิชาของวิศวกรรมศาสตร์ เหตุผลเป็นเพราะว่า e ถูกพิจารณาว่าเป็นฐานที่ "ธรรมชาติ" สำหรับลอการิทึม ถึงแม้ว่าอาจจะมีตัวเลขมากหรือเป็นการบังคับ (เอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็นสิ่งที่สำคัญในแขนงวิชาที่ต้องต่อกรกับส่วนประกอบแบบวัฏจักร)
• ลอการิทึมสามัญ (log₁₀, log, lg) ในหลายแขนงวิชาของวิศวกรรมศาสตร์ โดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับระดับกำลังหรืออัตราส่วนกำลังเช่นความดันเสียง และตารางลอการิทึมซึ่งใช้สำหรับการคำนวณด้วยมือ ใช้สำหรับการประมาณค่า เช่น 2¹⁰ ≈ 10³ นำไปสู่การประมาณค่า 3 เดซิเบลต่ออ็อกเทฟ อันเป็นผลมาจากการใช้ log₁₀
• ลอการิทึมฐานสอง (log₂, lg, lb, ld) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีสารสนเทศ การคำนวณทฤษฎีสารสนเทศใช้ log₂ อันนำไปสู่หน่วยบิต (bit) ซึ่งเป็นความหมายแรกเริ่ม เทียบกับกับการคำนวณโดยใช้ log_e อันนำไปสู่หน่วยแนต (nat) ซึ่งไม่ได้เป็นความหมายดั้งเดิม แม้ว่าหน่วยทั้งสองนี้จะมีฟังก์ชันเทียบเท่ากัน ต่างกันที่มาตราส่วนเท่านั้น เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนในการใช้ ควรระบุฐานลงไปด้วยเพื่อไม่ให้เกิดความเข้าใจผิด
• ลอการิทึมไม่จำกัด (Log, [log ], log) ซึ่งฐานของมันไม่เกี่ยวเนื่องกัน ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีความซับซ้อนที่อธิบายเกี่ยวกับพฤติกรรมของขั้นตอนวิธีในสัญกรณ์โอใหญ่ ซึ่งใช้อธิบายลักษณะของขั้นตอนวิธี อาทิ "พฤติกรรมเชิงลอการิทึม" ไม่ได้เป็นการวัดประสิทธิภาพอย่างเจาะจงของขั้นตอนวิธีในสถานการณ์ที่กำหนด
• ลอการิทึมสงวนฐาน (log_v, li, log, Li) คล้าย ๆ ลอการิทึมฐานธรรมชาติ ต่างที่การกำหนดให้ค่าที่ได้เป็นจำนวนจินตภาพแท้แทน โดยที่ li(x) = (-i/pi)[ln(x)] โดยที่ X เป็นจำนวนจริงบวก และ antilog ก็ถูกกำหนดให้เขียนเป็น Vi(x) โดยที่ x เป็นจำนวนจินตภาพแท้เท่านั้น

สัญกรณ์ของฐานและฐานโดยนัย

บ่อยครั้งที่ฐานไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนในสัญกรณ์ log (x) ซึ่งในแต่ละสาขาวิชาก็มีธรรมเนียมการใช้ต่างกัน เราสามารถเข้าใจได้โดยนัยในสาขาวิชาหรือภาวะแวดล้อมนั้น

• นักคณิตศาสตร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ log_e (x)
• วิศวกร นักชีววิทยา และนักดาราศาสตร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมสามัญ log₁₀ (x)
• นักวิทยาการคอมพิวเตอร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมฐานสอง log₂ (x)
• บนเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ ปุ่ม "log" หมายถึง log₁₀ (x) และปุ่ม "ln" หมายถึง log_e (x)
• ในภาษาโปรแกรมของคอมพิวเตอร์ที่ใช้งานอย่างแพร่หลาย^[3] ฟังก์ชัน "log" จะคืนค่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติ

มาตรฐานที่ต่างกันเกิดขึ้นจากสมบัติที่ต่างกันอันเป็นที่นิยมใช้ในสาขาวิชานั้น ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติมีสมบัติหลายอย่างที่เป็น "ธรรมชาติ" (เช่น อนุพันธ์ของมันเท่ากับ 1/x เป็นต้น) ทำให้เป็นที่น่าสนใจของนักคณิตศาสตร์ ในขณะที่เราเขียนจำนวนต่าง ๆ เป็นเลขฐานสิบ การคิดเลขในใจจึงง่ายขึ้นด้วยลอการิทึมสามัญ และเป็นที่น่าสนใจของวิศวกร และสุดท้าย คอมพิวเตอร์เก็บข้อมูลในหน่วยพื้นฐานเป็นบิต เทียบได้กับเลขฐานสอง เราสามารถทราบว่าจำนวนเต็ม n ใช้เนื้อที่เก็บกี่บิตอย่างคร่าว ๆ โดยใช้ลอการิทึมฐานสอง log₂ (n) สมบัติเช่นนี้ปรากฏซ้ำ ๆ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทำให้ลอการิทึมฐานสองเป็นที่นิยมในสาขานี้ เป็นต้น

บ่อยครั้งที่ประเทศในแถบยุโรปใช้สัญกรณ์นี้ ^blog (x) แทนที่จะเป็น log_b (x)^[4]

สัญกรณ์ ln

ลอการิทึมธรรมชาติของ x เขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า ln (x) แทนที่จะเป็น log_e (x) โดยเฉพาะในสาขาอื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์

อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์บางคนไม่ยอมรับการใช้สัญกรณ์นี้ อาทิ พอล ฮาลมอส (Paul Halmos) นักคณิตศาสตร์ชาวยิว ได้วิจารณ์ไว้ในอัตชีวประวัติของเขาเมื่อ ค.ศ. 1985 ว่า ln เป็น "สัญกรณ์แบบเด็ก ๆ" และเขายังกล่าวอีกด้วยว่าไม่มีนักคณิตศาสตร์คนไหนเคยใช้^[5] ข้อเท็จจริงคือสัญกรณ์นี้คิดค้นขึ้นโดย เออร์วิง สตริงแฮม (Irving Stringham) ศาสตราจารย์จากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ เมื่อ ค.ศ. 1893^[6][7]

วิทยาการคอมพิวเตอร์

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ลอการิทึมฐานสองบางครั้งก็เขียนในรูปแบบ lg (x) ซึ่งเสนอโดย เอดเวิร์ด เรนโกลด์ (Edward Reingold) และทำให้แพร่หลายโดย โดนัลด์ คนูธ (Donald Knuth) อย่างไรก็ตามสัญกรณ์นี้ก็มีการใช้เป็นลอการิทึมสามัญ และใช้ lb (x) สำหรับลอการิทึมฐานสองแทน^[8] ในตำราของรัสเซีย สัญกรณ์ lg (x) มีการใช้แทนลอการิทึมฐานสิบโดยทั่วไป^[9] รวมทั้งในเยอรมนี ในขณะที่ ld (x) หรือ lb (x) ใช้เป็นลอการิทึมฐานสอง ภาษาโปรแกรมพีแอล/วันใช้สัญกรณ์ log2 (x) สำหรับลอการิทึมฐานสอง

ฐาน b ของฟังก์ชันลอการิทึมที่ทำงานเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรม ถูกละทิ้งหรือทำให้ไม่ทราบค่า เพื่อความสะดวกต่อการใช้ในการเปลี่ยนฐาน ซึ่งเป็นเอกลักษณ์อย่างหนึ่งสำหรับการคำนวณฐานใด ๆ ไปเป็นลอการิทึมฐาน r ของ x ดังนี้

${\displaystyle \log _{r}(x)={\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(r)}}}$ สำหรับฐาน b ใด ๆ หรือเขียนเพียงแค่ ${\displaystyle \log _{r}(x)={\frac {\log(x)}{\log(r)}}}$

ฐาน b ของฟังก์ชันลอการิทึมสามารถกำหนดโดยเจาะจงลงไปได้ เช่นการคำนวณความผิดพลาดของความคลาดเคลื่อน ด้วยเอกลักษณ์ต่อไปนี้

${\displaystyle b=n^{\frac {1}{\log _{b}(n)}}}$ หรือเขียนเพียงแค่ ${\displaystyle {\text{base}}=n^{\frac {1}{\log(n)}}}$ สำหรับค่า n ใด ๆ ที่เหมาะสม

การแนะนำและมาตรฐาน

สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ กระทรวงพาณิชย์สหรัฐอเมริกา ได้แนะนำไว้ว่าควรปฏิบัติตามมาตรฐานไอเอสโอเรื่อง ISO 31-11:1992 เครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับใช้ในวิทยาศาสตร์กายภาพและเทคโนโลยี ซึ่งได้แนะนำสัญกรณ์ไว้สามแบบ ดังนี้^[10]

• สัญกรณ์ ln (x) หมายถึง log_e (x)
• สัญกรณ์ lg (x) หมายถึง log₁₀ (x)
• สัญกรณ์ lb (x) หมายถึง log₂ (x)

ดูเพิ่ม

• ลอการิทึมสามัญ
• ลอการิทึมธรรมชาติ
• มาตราส่วนเชิงลอการิทึม
• ลอการิทึมซ้อน (iterated logarithm)
• ลอการิทึมเชิงซ้อน (complex logarithm)