ปัญหาหลายวัตถุ

ปัญหาหลายวัตถุ หรือ ปัญหา n วัตถุ (อังกฤษ: n-body problem) คือการหาผลสืบเนื่องของการเคลื่อนที่ในวิชากลศาสตร์ดั้งเดิม จากค่ากำหนดได้แก่ ตำแหน่งเริ่มต้น มวล และความเร็วของวัตถุหลายชิ้น (หรือเรียกว่า วัตถุ n ชิ้น) ตัวอย่างของปัญหาหลายวัตถุได้แก่ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน และ กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน

สมการคณิตศาสตร์ของปัญหา n วัตถุ

ปัญหา n วัตถุของกลศาสตร์ท้องฟ้าโดยทั่วไปเป็นปัญหาค่าตั้งต้นของสมการดิฟเฟอเรนเชียลปกติ เมื่อกำหนดค่าตั้งต้นตำแหน่ง ${\displaystyle \mathbf {q} _{j}(0)}$ และความเร็ว ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}_{j}(0)}$ ของอนุภาค n (j = 1, ..., n) โดยที่ ${\displaystyle \mathbf {q} _{j}(0)\neq \mathbf {q} _{k}(0)}$ สำหรับทุก ๆ ค่า j and k ที่แตกต่างกัน จะได้ผลลัพธ์อันดับที่สอง (second order) ของระบบเป็นดังนี้

${\displaystyle m_{j}{\ddot {\mathbf {q} }}_{j}=\gamma \sum \limits _{k\neq j}{\frac {m_{j}m_{k}(\mathbf {q} _{k}-\mathbf {q} _{j})}{|\mathbf {q} _{k}-\mathbf {q} _{j}|^{3}}},j=1,\ldots ,n\qquad \qquad \qquad (1)}$

โดยที่ ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots m_{n}}$ เป็นค่าคงที่แทนมวลของจุดแทนมวล n และ ${\displaystyle \mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,\mathbf {q} _{n}}$ เป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ 3 มิติของตัวแปรเวลา t ที่บ่งชี้ถึงตำแหน่งของจุดแทนมวล หากแสดงอย่างง่าย สมการนี้ก็คือ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันข้อที่สอง ด้านซ้ายของสมการคืออัตราเร่ง มวล-เวลา ของอนุภาคตัวที่ j ส่วนทางด้านขวาของสมการเป็นผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาคนั้น ในที่นี้สมมุติว่าแรงที่กระทำต่ออนุภาคคือแรงโน้มถ่วง เมื่อพิจารณาด้วยกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน แรงนี้จึงแปรผันโดยตรงต่อปริมาณมวลที่เกี่ยวข้อง และแปรผกผันเป็นกำลังสองกับระยะห่างระหว่างมวล

แหล่งข้อมูลอื่น

• Three-Body Problem at Scholarpedia
• More detailed information on the three-body problem เก็บถาวร 2002-10-17 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Regular Keplerian motions in classical many-body systems เก็บถาวร 2005-08-24 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Applets demonstrating many different three-body motions เก็บถาวร 2005-12-18 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• On the integration of the n-body equations เก็บถาวร 2016-10-30 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Artistic flash simulation of the n-body problem, depicting a fictitious solar system เก็บถาวร 2009-05-02 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• A java applet to simulate the 3-d movement of set of particles under gravitational interaction เก็บถาวร 2009-01-08 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Javascript Simulation of our Solar System เก็บถาวร 2009-06-30 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน