ทรงสิบสองหน้า

ทรงสิบสองหน้า (อังกฤษ: dodecahedron, พหูพจน์: -dra) เป็นคำทั่วไปที่ใช้เรียกทรงหลายหน้า (polyhedron) ที่มี 12 หน้า ทรงสิบสองหน้าอาจเป็นรูปทรงที่สมมาตรหรือไม่สมมาตรก็ได้

ทรงสิบสองหน้าปรกติ

ทรงสิบสองหน้าปรกติ (regular dodecahedron) เป็นทรงหลายหน้าที่ประกอบด้วยหน้ารูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า 12 หน้า มี 20 จุดยอด 30 ขอบ ทรงสิบสองหน้าปรกติ เป็นหนึ่งในทรงตันเพลโต (Platonic solid)

พื้นที่ผิวและปริมาตร

ทรงสิบสองหน้าปรกติที่คลี่ออก

พื้นที่ผิว A และปริมาตร V ของทรงสิบสองหน้าปรกติ ที่มีความยาวขอบทุกด้านเท่ากับ a คำนวณได้ด้วยสูตร

${\displaystyle A=(3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}})a^{2}\approx 20.6457288a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.66311896a^{3}}$

พิกัดคาร์ทีเซียน

พิกัดคาร์ทีเซียนของทรงสิบสองหน้าปรกติ สามารถกำหนดพิกัดได้ดังนี้

(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

เมื่อ φ = (1+√5)/2 คืออัตราส่วนทอง (golden ratio) (บางครั้งเขียนเป็น τ) และความยาวของขอบทุกด้านจะเท่ากับ 2/φ = −1+√5 หน่วย

ทรงสิบสองหน้าอื่นๆ

ทรงสิบสองหน้าอื่นๆ ที่ไม่ใช่ทรงสิบสองหน้าปรกติ อาจมีหลายรูปแบบดังนี้

• ทรงหลายหน้าเอกรูป (uniform polyhedron)
  1. แอนติปริซึมห้าเหลี่ยม (pentagonal antiprism) มีหน้ารูปสามเหลี่ยม 10 รูป หน้ารูปห้าเหลี่ยม 2 รูป
  2. ปริซึมสิบเหลี่ยม (decagonal prism) มีหน้ารูปสี่เหลี่ยม 10 รูป หน้ารูปสิบเหลี่ยม 2 รูป
• ทรงตันจอห์นสัน (Johnson solid) ขอบทุกด้านยาวเท่ากัน
  1. คิวโพลาห้าเหลี่ยม (pentagonal cupola) มีหน้ารูปสามเหลี่ยม 5 หน้า รูปสี่เหลี่ยม 5 หน้า รูปห้าเหลี่ยม 1 หน้า และรูปสิบเหลี่ยม 1 หน้า
  2. สนับไดสฟีนอยด์ (snub disphenoid) มีหน้ารูปสามเหลี่ยม 12 หน้า
  3. พีระมิดคู่สี่เหลี่ยมอีลองเกต (elongated square dipyramid) มีหน้ารูปสามเหลี่ยม 8 หน้า รูปสี่เหลี่ยม 4 หน้า
  4. ทรงยี่สิบหน้าเมทาไบดิมินิช (metabidiminished icosahedron) มีหน้ารูปสามเหลี่ยม 10 รูป หน้ารูปห้าเหลี่ยม 2 รูป
• ขอบอาจยาวไม่เท่ากันแต่มีหน้าที่เข้ากันได้หรือเหมือนกัน
  1. พีระมิดคู่หกเหลี่ยม (hexagonal bipyramid) มีหน้ารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 12 หน้า
  2. เทรปโซฮีดรอนหกเหลี่ยม (hexagonal trapezohedron) มีหน้ารูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว 12 หน้า
  3. ทรงสี่หน้าไทรอาคิส (triakis tetrahedron) มีหน้ารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 12 หน้า
  4. ทรงสิบสองหน้ารอมบิก (rhombic dodecahedron) มีหน้ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 12 หน้า
• รูปแบบอื่นๆ
  1. พีระมิดสิบเอ็ดเหลี่ยม (hendecagonal pyramid) มีหน้ารูปสามเหลี่ยม 11 หน้า หน้ารูปสิบเอ็ดเหลี่ยม 1 หน้า
  2. ทรงสิบสองหน้าเทรปโซรอมบิก (trapezo-rhombic dodecahedron) มีหน้ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 6 หน้า หน้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมู 6 หน้า
  3. ทรงสิบสองหน้ารอมโบหกเหลี่ยม หรือ ทรงสิบสองหน้าอีลองเกต (rhombo-hexagonal dodecahedron หรือ elongated dodecahedron) มีหน้ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 8 หน้า หน้ารูปหกเหลี่ยมด้านเท่า 4 หน้า

อ้างอิง

• Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

แหล่งข้อมูลอื่น

• The Uniform Polyhedra
• Dodecahedron calendar, and another Dodecahedron calendar
• Origami Polyhedra - Models made with Modular Origami
• Paper Models of Polyhedra เก็บถาวร 2013-02-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน Many links
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
  • VRML models
  1. Regular dodecahedron เก็บถาวร 2021-01-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน regular
  2. Rhombic dodecahedron เก็บถาวร 2021-12-31 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน quasiregular
  3. Decagonal prism เก็บถาวร 2021-12-31 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน vertex-transitive
  4. Pentagonal antiprism เก็บถาวร 2021-08-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน vertex-transitive
  5. Hexagonal dipyramid เก็บถาวร 2021-04-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน face-transitive
  6. Triakis tetrahedron เก็บถาวร 2021-08-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน face-transitive
  7. hexagonal trapezohedron เก็บถาวร 2020-09-15 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน face-transitive
  8. Pentagonal cupola เก็บถาวร 2021-08-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน regular faces
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Dodecahedron" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Elongated Dodecahedron" จากแมทเวิลด์.