ไพรมอเรียล

ไพรมอเรียล (อังกฤษ: primorial) เป็นคำที่รวมกันระหว่างจำนวนเฉพาะ (prime) กับแฟกทอเรียล (factorial) ตั้งโดย ฮาร์วีย์ ดับเนอร์ (Harvey Dubner) มีความหมายสองแบบ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป

ฟังก์ชันไพรมอเรียลถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นข้อพิสูจน์ให้กับทฤษฎีบทของยุคลิด ว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนอนันต์

ความหมายที่หนึ่ง

กราฟของ f (n) = p_n# ลงจุดแบบลอการิทึม

ไพรมอเรียล p_n# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ n ตัวแรก ^[1][2] นั่นคือ

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$

เมื่อ p_k คือจำนวนเฉพาะตัวที่ k

ตัวอย่างเช่น p₅# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ 5 ตัวแรก

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}$

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล p_n# บางตัวมีดังนี้

1, 2, 6, 30, 210, 2310, ... (ลำดับ  A002110)

ลำดับดังกล่าวรวมถึง p₀# = 1 ซึ่งเป็นผลคูณว่างด้วย

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

${\displaystyle p_{n}\#=\exp \left[(1+o(1))\cdot n\log n\right]}$

เมื่อ exp คือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล e^x และ o คือสัญกรณ์โอเล็ก (ดูเพิ่มในสัญกรณ์โอใหญ่) ^[2]

ลอการิทึมธรรมชาติของไพรมอเรียลคือฟังก์ชันเชบีเชฟที่หนึ่ง (the first Chebyshev function) เขียนแทนด้วย ϑ (n) หรือ θ (n) ซึ่ง n จะเข้าใกล้เชิงเส้นเมื่อ n มีค่ามากๆ ^[3]

ความหมายที่สอง

กราฟของฟังก์ชัน f (n) = n# (จุดสีแดง) เปรียบเทียบกับ n! ลงจุดแบบลอการิทึม

ไพรมอเรียล n# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า n เมื่อ n ≥ 1 ^[1][4] นิยามโดย

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&n=1\\n\times ((n-1)\#)&n>1\And n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&n>1\And n{\text{ is composite}}\end{cases}}}$

ซึ่งมีความหมายเทียบเท่ากับ ^[4]

${\displaystyle n\#=p_{\pi (n)}\#}$

เมื่อ π (n) คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (ลำดับ  A000720) โดยให้จำนวนของจำนวนเฉพาะไม่มากกว่า n

ตัวอย่างเช่น 7# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า 7 นั่นคือ

${\displaystyle 7\#=2\times 3\times 5\times 7=210}$

และเนื่องจาก π (7) = 4 ดังนั้นจึงสามารถคำนวณได้อีกวิธีเป็น

${\displaystyle 7\#=p_{\pi (7)}\#=p_{4}\#=210}$

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล n# บางตัวมีดังนี้

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, ...

จะเห็นว่าไพรมอเรียล n# ซึ่ง n เป็นจำนวนประกอบ จะซ้ำกับจำนวนที่อยู่ก่อนหน้าคือ (n − 1)# ตามที่ได้กำหนดไว้ในนิยาม

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

${\displaystyle \log n\#\sim n}$

ตารางค่าไพรมอเรียล

n	n#	pn	pn#
0	ไม่นิยาม	ไม่มีจำนวนเฉพาะ	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410

อ้างอิง

1. เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Primorial" จากแมทเวิลด์.
2. (ลำดับ  A002110)
3. เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Chebyshev Functions" จากแมทเวิลด์.
4. (ลำดับ  A034386)

• Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.