ต้นไม้ 2–3–4

ต้นไม้ 2-3-4 (อังกฤษ: 2-3-4 tree) หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า ต้นไม้ 2-4 เป็นโครงสร้างข้อมูลแบบต้นไม้ได้ดุล คือจัดสมดุลด้วยตัวเองเมื่อมีการเพิ่มหรือลบข้อมูล ซึ่งโดยทั่วไปจะนำไปใช้เป็นส่วนหนึ่งในการทำระบบพจนานุกรม โดยพื้นฐานเหมือนกับต้นไม้บี (B-trees) ที่สามารถค้นหา เพิ่ม และ ลบข้อมูล ในเวลา O(log n) และ คุณสมบัติอย่างหนึ่งที่สำคัญของ 2-3-4 tree คือ ใบ (leaf หรือ external nodes) มีการประกันความสูงเป็น O(log n) ซึ่งมีความลึกเท่ากัน

• 
  2-โหนด
• 
  3-โหนด
• 
  4-โหนด

ตัวเลข 2 3 และ 4 บอกถึงรูปแบบของ node ที่ใช้ใน tree มี 3 แบบ ดังนี้

1. ปมแบบ 2 (2-node) คือ ใน 1 node จะมีข้อมูล 1 ตัว และมี child node ได้ 2 nodes
2. ปมแบบ 3 (3-node) คือ ใน 1 node จะมีข้อมูล 2 ตัว และมี child node ได้ 3 nodes
3. ปมแบบ 4 (4-node) คือ ใน 1 node จะมีข้อมูล 3 ตัว และมี child node ได้ 4 nodes

คุณสมบัติ

1. แต่ละโหนดเก็บค่าได้มากที่สุด 3 ค่า
2. โหนดภายในแต่ละโหนดคือโหนด 2 โหนด 3 โหนดหรือ 4 โหนด
3. Leaf node ทั้งหมดอยู่ในระดับเดียวกัน
4. ทุก ๆ left child node ต้องมีค่าน้อยกว่า parent node
5. ทุก ๆ right child node ต้องมีค่ามากกว่า parent node  

ข้อแตกต่างระหว่าง ต้นไม้ 2-3-4 กับ ต้นไม้แดงดำ

ต้นไม้ 2-3-4 (2-3-4 tree) มีโครงสร้างเหมือนกับ ต้นไม้แดงดำ(red-black trees) เพราะ ต้นไม้แดงดำประยุกต์แนวคิดมาจาก ต้นไม้ 2-3-4 ซึ่งทุก ๆ ต้นไม้ 2-3-4 จะมี ต้นไม้แดงดำ อย่างน้อย 1 ต้นกับ data element ในอันดับเดียวกัน แล้วการเพิ่มและลบข้อมูลของ 2-3-4 trees ที่ทำให้แต่ละ node ขยาย แยก หรือรวมกัน ก็เหมือนกับการสลับสีและการหมุนของ node ใน red-black trees และการจะ implement 2-3-4 trees ในการเขียนโปรแกรมมักจะยาก เพราะมีกรณีเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับการทำงานของต้นไม้แบบนี้เยอะ ส่วนใหญ่จึงหันไปใช้ red-black trees แทนเพราะ implement ได้ง่ายกว่า

การค้นหาข้อมูล

เริ่มจาก root node แล้วทำการเปรียบเทียบค่าที่ต้องการหา ถ้าค่าที่ต้องการหาไม่ได้อยู่ใน root node ให้เปรีบบเทียบค่าใน root node ว่าควรเลือกเส้นทางไหนใน node ถัดไป แล้วทำการเปรียบเทียบค่าต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะพบข้อมูลที่ต้องการหาหรือเจอ null

เป็นการค้นหาภายในต้นไม้ 2-3-4

การเพิ่มข้อมูล

เริ่มต้นที่ root node โดยจะแยกได้ดังนี้

1. ถ้า node ปัจจุบันเป็น 4-node ให้นำค่าที่อยู่ตรงกลางไปเก็บไว้ และลบออกจาก node เพื่อให้ได้ 3-nodeแล้วแยก 3-node ที่เหลือออกเป็น 2-node 2 อัน
   • ถ้า node นี้เป็น root node (ซึ่งไม่มี parent) ค่าที่เก็บไว้จะเป็น root ใหม่ของ 2-node 2 อัน และความสูงของ tree เพิ่มขึ้น 1 แล้วย้อนกลับไปพิจารณาขั้นต่อไปที่ root
   • ถ้าไม่ใช่ ดันค่าที่เก็บไว้ขึ้นไปที่ parent node แล้วย้อนกลับไปพิจารณาขั้นต่อไปที่ parent
2. หา child node ที่มีช่วงของค่าที่จะทำการเพิ่ม
   • ถ้า child node นั้นเป็นใบ ใส่ค่าที่จะทำการเพิ่มเข้าไปใน node นั้นเป็นอันเสร็จสิ้น
   • ถ้าไม่ใช่ลงไปที่ child node ของ node นั้น และเริ่มทำ step 1 ใหม่

ขั้นตอนแรก

ขั้นตอนที่สอง

การลบข้อมูล

1. ขั้นแรกต้องหาข้อมูลที่จะทำการลบให้เจอก่อน โดยการลบข้อมูลนั้นจะเกิดขึ้นใน leaf node เสมอ
2. ถ้าค่าที่จะลบอยู่ใน leaf node และ node นั้นเป็น 3-node หรือ 4-node ค่าจะถูกลบออกจาก node และจะกลายเป็น 2-node หรือ 3-node ตามลำดับ

   

   กรณีที่เลขที่ต้องการลบอยู่ใน leaf node และเป็น 3-node

3. ถ้าข้อมูลที่จะต้องการลบอยู่ใน 2-node เมื่อลบข้อมูลแล้ว node นี้จะหายไป เรียกว่า underflow โดยจะถ่ายโอนค่าจากโหนดหลักไปยังโหนดที่เกิด underflow และถ่ายโอนค่าจาก sibling node (คือ node ที่มี parent เดียวกัน) ที่เป็น 3-node หรือ 4-node

   

   กรณีที่เลขที่ต้องการลบอยู่ใน leaf nodeและเป็น 2-node

4. ถ้า node ที่ underflow เกิดขึ้นไม่มี sibling node ที่เป็น 3-node หรือ 4-node จะเกิดการรวม (fused) 2 sibling node เข้าด้วยกัน

   

   กรณีที่เลขที่ต้องการลบอยู่ใน leaf node และเป็น 2-node แต่ sibling node เป็น 2-node ทั้งหมด

5. ถ้าค่าที่จะลบไม่ได้อยู่ใน leaf node ก็จะถูกแทนที่ด้วยบรรพบุรุษของมันทันที และค่าก่อนจะถูกลบออกจาก tree

   

   กรณีที่เลขที่ต้องการลบไม่ได้อยู่ใน leaf node ดังนั้น child node ที่จะนำมาแทนที่ต้องเป็น 3-node หรือ 4-node

ความซับซ้อนของเวลา

การค้นหาข้อมูลจะใช้เวลา O(log n) เนื่องจากต้นไม้มีความสมดุลอยู่เสมอ

การแทรกจะใช้เวลา O(log n) เนื่องจากการแบ่งแยกทั้งหมดเป็น Conversion และเราไม่จำเป็นต้องมีการส่งผ่านหลายครั้งบนต้นไม้

การลบจะใช้เวลา O(log n) เมื่อพิจารณาการหมุน / ฟิวชั่น เป็น O(1) ทั้งหมด

ความสูงของต้นไม้ที่เลวร้ายที่สุดคือ log n เมื่อโหนดทั้งหมดเป็น 2-nodes

ความสูงของต้นไม้กรณีที่ดีที่สุดคือ 1/2 log n เมื่อโหนดทั้งหมดเป็น 4-nodes

Code Python การค้นหาข้อมูล

def Search(self, key):
        pCurNode = self._pRoot  # start at root
        while True:
            childNumber = pCurNode.findItem(key)
            if childNumber != -1:
                return True  # childNumber	#found it
            elif pCurNode.isLeaf():
                return False  # can't find it
            else:  # search deeper
                pCurNode = self.getNextChild(pCurNode, key)

Code Python การเพิ่มข้อมูล

def insert(self, Value):  # insert a DataItem
        pCurNode = self._pRoot
        pTempItem = DataItem(Value)

        while True:
            if pCurNode.isFull():  # if node full,
                self.split(pCurNode)  # split it
                pCurNode = pCurNode.getParent()  # back up
                # search once
                pCurNode = self.getNextChild(pCurNode, Value)
            # end if(node is full)

            elif pCurNode.isLeaf():  # if node is leaf,
                break  # go insert
            # node is not full, not a leaf; so go to lower level
            else:
                pCurNode = self.getNextChild(pCurNode, Value)
        # end while
        pCurNode.insertItem(pTempItem)  # insert new item

อ้างอิง

Dusk 2-3-4 tree ค้นหาเมื่อ 7 พฤษภาคม 2561

azrael 2-3-4 Tree Delete Example ค้นหาเมื่อ 7 พฤษภาคม 2561

freedman 2-3-4 Trees ค้นหาเมื่อ 7 พฤษภาคม 2561

สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล โครงสร้างข้อมูล: 12.4 ต้นไม้ค้นหาแบบอื่น - ต้นไม้ 2-3-4 ค้นหาเมื่อ 7 พฤษภาคม 2561