ตัวแปรเสริมสโตกส์

ตัวแปรเสริมสโตกส์ (Stokes parameters) เป็นชุดของค่าสี่ค่าที่ใช้อธิบายสถานะของโพลาไรเซชัน ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตาม จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ ซึ่งเป็นผู้เสนอขึ้นในปี 1852

ตัวแปรเสริมสโตกส์ I, Q, U และ V

ตัวแปรเสริมเหล่านี้มักจะถูกเขียนในรูปแบบของเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์สโตกส์ (Stokes vector) โดยแสดงเป็นฟังก์ชันของความเข้มรวมของลำแสง ระดับของโพลาไรเซชัน และตัวแปรเสริมที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างเชิงวงรีของการโพลาไรซ์ ใช้เพื่ออธิบายแสงทั้งที่ไม่โพลาไรซ์ โพลาไรซ์บางส่วน และโพลาไรซ์ทั้งหมด ต่างจากวิธีการคำนวณของโจนส์ ซึ่งสามารถอธิบายได้เฉพาะแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น การแทนด้วยค่านี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการทดลอง เนื่องจากแต่ละค่าสอดคล้องกับผลรวมหรือความแตกต่างของความเข้มที่วัดได้ง่าย

ผลของระบบทางแสงที่มีต่อโพลาไรเซชันของแสงสามารถกำหนดได้โดยการสร้างเวกเตอร์สโตกส์สำหรับแสงที่ตกกระทบและใช้เมทริกซ์มึลเลอร์ เพื่อให้ได้เวกเตอร์สโตกส์ของแสงขาออกจากระบบ

หลักการ

เรามักจะนำตัวแปรเสริมสโตกส์มาเขียนรวมเป็นเวกเตอร์สโตกส์ ดังนี้:

${\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

เราสามารถมองว่าตัวแปรเสริมสโตกส์เป็นความเข้มทั่วไปสามค่า

• ${\displaystyle I}$: ความเข้มทั้งหมดที่วัดได้รวมกัน
• ${\displaystyle V}$: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบวงกลม ซึ่งอาจมีค่าเป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับทิศทางของการหมุน
• ${\displaystyle L\equiv Q+iU\equiv |L|e^{i2\theta }}$: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่อธิบายความเอียง ${\displaystyle \theta }$ ของทิศทางของโพลาไรเซชัน

สำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมด ซึ่งมีสถานะโพลาไรซ์แบบเดียวกันทั้งหมด สามารถแสดงได้เป็น

${\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2}\end{matrix}}}$

สำหรับลำแสงโพลาไรซ์บางส่วน ตัวแปรเสริมสโตกส์จะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ย สมการก่อนหน้าจะกลายเป็นอสมการ^[1]:

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2}\leq I^{2}.}$

โดย ${\displaystyle I_{p}/I}$ เรียกว่าเป็น อัตราโพลาไรเซชัน

คำจำกัดความ

เราสามารถให้คำจำกัดความของตัวแปรเสริมสโตกส์ได้หลายแบบขึ้นอยู่กับว่าอธิบายสถานะของโพลาไรซ์ของแสงอย่างไร

คลื่นระนาบอาจแสดงลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์คลื่น ${\displaystyle {\vec {k}}}$ และแอมพลิจูดเชิงซ้อนของสนามไฟฟ้า ${\displaystyle E_{1}}$ และ ${\displaystyle E_{2}}$ อธิบายด้วยฐาน ${\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})}$ หรืออาจแสดงโดยใช้เวกเตอร์คลื่น เฟส ${\displaystyle \phi }$ และสถานะโพลาไรเซชัน ${\displaystyle \Psi }$ โดย ${\displaystyle \Psi }$ คือเส้นโค้งที่วาด สนามไฟฟ้าในระนาบหนึ่ง ๆ สถานะโพลาไรเซชันที่พบบ่อยที่สุดคือโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง และแบบวงกลม ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสถานะทั่วไปของโพลาไรเซชันแบบวงรี

องค์ประกอบสนามไฟฟ้า

ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามตามองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าโดย

${\displaystyle {\begin{matrix}I&\equiv &|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}\\&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}\\&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2}\\Q&\equiv &|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2}&\\U&\equiv &|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2}&\\V&\equiv &|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2}&\end{matrix}}}$

โดยที่ดัชนีอ้างอิงถึงสามฐาน: ฐานอ้างอิงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$) ฐานที่ทำมุม 45 องศากับฐานอ้างอิง (${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$) และฐานวงกลม (${\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}$) โดยฐานวงกลมถูกกำหนดโดย ${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$

รูปทางขวาแสดงให้เห็นว่าเครื่องหมายบวกลบของตัวแปรเสริมสโตกส์มีความสัมพันธ์กับทิศทางการหมุนและการวางแนวของแกนเอกของวงรีอย่างไร

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงตัวแปรเสริมสโตกส์ในทั้งสามฐานแต่ละฐานแยกกัน

ในฐาน (${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$) ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามโดย

${\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}\\Q&=&|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2}\\U&=&2{\mbox{Re}}(E_{x}E_{y}^{*})\\V&=&-2{\mbox{Im}}(E_{x}E_{y}^{*})\\\end{matrix}}}$

ในฐาน ${\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}$ แสดงได้เป็น

${\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}\\Q&=&-2{\mbox{Re}}(E_{a}^{*}E_{b})\\U&=&|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2}\\V&=&2{\mbox{Im}}(E_{a}^{*}E_{b})\\\end{matrix}}}$

และในฐาน ${\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2}\\Q&=&2{\mbox{Re}}(E_{l}^{*}E_{r})\\U&=&-2{\mbox{Im}}(E_{l}^{*}E_{r})\\V&=&|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2}\\\end{matrix}}}$

ในรูปของวงรี

วงรีของโพลาไรเซชันและตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

วิธีหนึ่งในการอธิบายโพลาไรเซชันคือการระบุแกนเอกและแกนโทของวงรีโพลาไรเซชัน การวางแนว และทิศทางการหมุน ความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่าง ๆ ในของวงรีโพลาไรเซชันกับตัวแปรเสริมสโตกส์ อาจแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{matrix}I_{p}&=&A^{2}+B^{2}\\Q&=&(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta )\\U&=&(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta )\\V&=&2ABh\\\end{matrix}}}$

และในทางกลับกัน:

${\displaystyle {\begin{matrix}A&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}$

ในพิกัดทรงกลม

วงรีโพลาไรเซชัน แสดงความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมปวงกาเรกับค่า ψ และ χ

ตัวแปรเสริมสโตกส์อาจแสดงในรูปของพิกัดทรงกลม เรียกว่าทรงกลมปวงกาเร

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}$

ในที่นี้ ${\displaystyle Ip}$, ${\displaystyle 2\psi }$ และ ${\displaystyle 2\chi }$ คือพิกัดทรงกลมของสถานะโพลาไรเซชันในปริภูมิสามมิติของตัวแปรเสริมสโตกส์สามตัวหลัง ตัวคูณ 2 อยู่ข้างหน้า ${\displaystyle \psi }$ แสดงถึงความจริงที่ว่าวงรีที่หมุนไป 180 องศาจะไม่ต่างจากเดิม ในขณะที่ตัวคูณ 2 ที่อยู่ข้างหน้า ${\displaystyle \chi }$ บ่งบอกว่าวงรีจะไม่สามารถแยกความแตกต่างได้เมื่อพลิกแกนทั้งสองตามด้วยการหมุน 90

สามารถหาค่าต่าง ๆ ในพิกัดทรงกลมจากตัวแปรเสริมสโตกส์ได้ด้วยสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {atan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {atan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

ตัวอย่าง

ภาพอธิบายสถานะโพลาไรซ์บนทรงกลมปวงกาเร

ตารางต่อไปนี้แสดงเวกเตอร์สโตกส์สำหรับสถานะโพลาไรเซชันของแสงที่พบได้บ่อย

โพลาไรเซชัน	เวกเตอร์สโตกส์	โพลาไรเซชัน	เวกเตอร์สโตกส์
เส้นตรงแนวนอน	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	เส้นตรงแนวตั้ง	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$
วงกลมวนซ้าย	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}}$	วงกลมวนขวา	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$
เส้นตรงเฉียง ${\displaystyle \pm 45}$ องศา	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\\pm 1\\0\end{pmatrix}}}$	ไม่โพลาไรซ์	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

อ้างอิง

1. H. C. van de Hulst "Light scattering by small particles", Dover Publications, New York, 1981, ISBN 0-486-64228-3, page 42.