ฉบับร่าง:พีชคณิตเชิงเรขาคณิต
From Wikipedia, the free encyclopedia
ระวังสับสนกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric algebra: GA) (และรู้จักในชื่อพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด) เป็นส่วนขยายของพีชคณิตมูลฐานเพื่อใช้กับวัตถุทางเรขาคณิต เช่น เวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสร้างขึ้นจากการตำเนินการมูลฐานสองตัวคือการบวกและผลคูณเชิงเรขาคณิต การคูณเวกเตอร์ให้ผลลัพธ์ในมิติที่สูงขึ้นเรียกมัลติเวกเตอร์ เมื่อเทียบกับรูปนัยนิยมอื่นที่กระทำกับวัตถุทางเรขาคณิต น่าสังเกตว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมีการหารเวกเตอร์ (แต่โดยทั้วไปไม่ทุกสมาชิกที่ทำได้) และการบวกของวัตถุต่างมิติ
แฮร์มัน กรัสมันได้อธีบายผลคูณเชิงเรขาคณิตนี้ไว้สั้น ๆ โดยมากเขาสนใจพัฒนาพีชคณิตภายนอกซึ่งคล้าย ๆ กัน ในปีค.ศ.1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดได้ขยายผลงานของกรัสมันได้สร้างสิ่งที่ตอนนี้โดยทั่วไปเรียกกันว่าพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา (แต่คลิฟฟอร์ดเองเลือกที่จะเรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิต) คลิฟฟอร์ดได้นิยามพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดกับผลของมันไว้ว่าเป็นการรวมกันของพีชคณิตแบบกรัสมันและพีชคณิตควอเทอร์เนียน การเพิ่มคู่ของผลคูณภายนอกกรัสมันยอมให้การใช้พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี และแบบคงรูปของอันหลังรวมกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแบบคงรูปผลให้เกิดพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป (อังกฤษ: conformal geometric algebra: CGA) ให้โครงร่างสำหรับเรขาคณิตแบบฉบับ ในทางปฏิบัติ การตำเนินการเหล่านี้และอนุพันธ์ยอมให้เกิดการสมนัยกันของสมาชิก ปริภูมิย่อยและการตำเนินการของพีชคณิตที่มีความหมายทางเรขาคณิต เป็นเวลาหลายทศวรรษที่พีชคณิตเชิงเรขาคณิตค่อนข้างถูกละเลย ถูกบดบังไปมากโดยแคลคูลัสเวกเตอร์แล้วพัฒาขึ้นใหม่เพื่ออธิบายแม่เหล็กไฟฟ้า คำว่า"พีชคณิตเชิงเรขาคณิต"เป็นที่นิยมอีกครั้งในช่วงทศวรรษ1960 โดยเฮสเทเนส ผู้บอกความสำคัญต่อฟิสิกส์สัมพัทธภาพ
สเกลาร์และเวกเตอร์มีความหมายเหมือนปกติ และประกอบเป็นปริภูมิย่อยที่เด่นชัดในพีชคณิตเชิงเรขาคณิต ไบเวกเตอร์เป็นตัวแทนที่ธรรมชาติกว่าของปริมาณเวกเตอร์เทียมของแคลคูลัสเวกเตอร์ โดยปกติจะนิยามโดยใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์ เช่น พื้นที่กำหนดทิศ มุมหมุนกำหนดทิศ ทอร์ค โมเมนตัมเชิงมุม และสนามแม่เหล็ก ไทรเวกเตอร์สามารถแทนปริมาตรกำหนดทิศ และอื่น ๆ สมาชิกตัวหนึ่งเรียกว่าเบลดอาจใช้แทนปริภูมิย่อยของ และภาพฉายเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยนั้น การหมุนและการสะท้อนจะแสดงเป็นสมาชิก ต่างจากพีชคณิตเวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตโดยธรรมชาติจะรองรับมิติจำนวนเท่าไหร่ก็ได้ และรูปกำลังสองใด ๆ เช่นในสัมพัทธภาพ
ตัวอย่างการใช้งานพีชคณิตเชิงเรขาคณิตในฟิสิกส์ได้แก่ พีชคณิตกาลากาศ(และที่ไม่พบบ่อยพีชคณิตของปริภูมิกายภาพ) และพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต ส่วนขยายของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่รวมอนุพันธ์และปริพันธ์ สามารถใช้กำหนดทฤษฎีอื่น ๆ เช่นการวิเคราะห์เชิงซ้อน และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ต.ย. โดยใช้พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแทนรูปแบบเชิงอนุพันธ์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตได้รับการสนับสนุนจากโดยเฉพาะเดวิด เฮสเทเนสและคริส ดอรัน ให้เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสำหรับฟิสิกส์ ผู้เสนออ้างว่าให้คำอธิบายที่กระทัดรัดและเข้าใจง่ายในหลายสาขารวมทั้งกลศาสตร์แบบฉบับและควอนตัม ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า และสัมพัทธภาพ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตยังสามารถใช้เป้นเครื่องมือในการคำนวนในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ และวิทยาการหุ่นยนต์