అనిష్ప సంఖ్య

పూర్ణ సంఖ్యలు (integers), భిన్న సంఖ్యలు (fractions) తరువాత వచ్చే భావాలు మన అనుభవ పరిధికి కొంచెం అతీతంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకి కొన్ని సంఖ్యలని ఇంగ్లీషులో "ఇర్రేషనల్" (irrational) సంఖ్యలు అంటారు. "రేషనల్" (Rational) కానివి "ఇర్రేషనల్" (irrational). ఇంగ్లీషులో 'రేషనల్" అన్న మాటకి రెండు అర్థాలు ఉన్నాయి: (1) తర్కబద్ధం, (2) రేష్యో (ratio) అన్న మాటకి విశేషణ రూపం. ఒక నిష్పత్తి (ratio) రూపంలో రాయగలిగే సంఖ్యలు నిష్ప సంఖ్యలు (rational numbers) లేదా భిన్న సంఖ్యలు. మనం ఒక సంఖ్యని నిష్పత్తి రూపంలో రాయలేని పక్షంలో ఆ సంఖ్య అనిష్ప సంఖ్య (irrational number). పూర్ణ సంఖ్యలు జాతికి చెందనివి, నిష్ప సంఖ్యలు జాతికి చెందనివి అయిన సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయనే విషయం యవనులకి అవగతం అయేసరికి వారి ఆశ్చర్యానికి అంతు లేదు.

కొన్ని సాంకేతిక పదాలకి తెలుగు మాటలు

ఇక్కడ వచ్చే క్లిష్టమైన సాంకేతిక పదాలకి వాడిన తెలుగు అనువాదాలు ఈ దిగువ చూడవచ్చు.^[1]

• algorithm = అభియుక్తి
• countable = గణ్యాలు, 1, 2, 3,.. అంటూ లెక్కపెట్టగలిగేవి
• fractions = భిన్న సంఖ్యలు, భిన్నాలు
• integers = పూర్ణ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు
• irrational numbers = అనిష్ప సంఖ్యలు, కరణీయ సంఖ్యలు
• magnitude = పరిమేయత
• rational numbers = నిష్ప సంఖ్యలు, అకరణీయ సంఖ్యలు
• real numbers = నిజ సంఖ్యలు, వాస్తవ సంఖ్యలు
• surd = రెండు పూర్ణసంఖ్యల నిష్పత్తిలా రాయడానికి లొంగని వర్గమూల, ఘనమూలాదులు; ఉదా: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, వగైరాలు; ఈ మాట వాడుకలోంచి తప్పిపోయింది. దీని స్థానంలో "అనిష్ప సంఖ్యలు" అని రాసెయ్యవచ్చు.
• uncountable = అగణ్యాలు, 1, 2, 3,.. అంటూ లెక్కపెట్టడానికి లొంగనివి

నిష్ప సంఖ్యల ఆవిర్భావం

ఒక చతురస్రంలో కర్ణం యొక్క పొడుగుని లెక్క కట్టాలంటే భుజం పొడుగుని ఏ నిష్ప సంఖ్యతో గుణించినా సరి అయిన సమాధానం రాదని పైథోగరోస్ కనుక్కున్నాడు. ఇదే విషయం మరొక విధంగా చెప్పవచ్చు. ఒక చతురస్రంలో కర్ణం పొడుగుకి, భుజం పొడుగుకి మధ్య ఉండే నిష్పత్తిని పూర్ణ సంఖ్యలతో వ్యక్త పరచ లేము. మన చతురస్రం యొక్క భుజం పొడుగు ఒక అంగుళం అనుకుంటే, కర్ణం పొడుగు ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (అంటే 2 యొక్క వర్గమూలం) అంగుళాలు. కనుక ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ అనిష్ప సంఖ్యకి ఒక ఉదాహరణ. పైథోగరోస్ కి అనిష్ప సంఖ్యకి మధ్య ఉన్న బాదరాయణ సంబంధాన్ని పురస్కరించుకుని ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$కి పైథోగరోస్ సంఖ్య అని పేరు పెట్టేరు.

అనిష్ప సంఖ్యలు ఉన్నాయనే విషయం మొట్టమొదట పైథోగరోస్ మనోవీధిలోనే మెరిసి ఉండుంటుందని కొందరి వాదం. ఇది నిజమో కాదో ఇదమిత్థంగా మనకే కాదు, ఎవ్వరికీ తెలియదు. ఎందుకంటే బాబిలోనియా లోని మట్టి పలకల మీద చూపిన ఒక లెక్కలో ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ యొక్క విలువ 14 దశాంశ స్థానాల వరకు తప్పు లేకుండా కట్టబడి ఉంది. కాని పైథోగరోస్ శిష్యులు తమ కూటమే ఈ ఘన విజయం మొట్టమొదటగా సాధించిందన్న అపోహతో శత వృషభ శిరచ్చేద యాగం చేసేరని ఒక ఐతిహ్యం ఉంది.

2 యొక్క వర్గమూలం అనిష్ప సంఖ్య

ఒకొక్క బాహువు పొడుగు ఒకొక్క అంగుళం చొప్పున ఉన్న (సమబాహు) చతురస్రం యొక్క కర్ణం ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ అయినట్లే, ఒకొక్క బాహువు పొడుగు ఒకొక్క అంగుళం చొప్పున ఉన్న (సమబాహు) పంచభుజి యొక్క కర్ణం కూడా అనిష్ప సంఖ్యే. దీనిని సువర్ణ నిష్పత్తి (golden ratio) అని పిలుస్తారు. దీని విలువ ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$. ఒక దీర్ఘ చతురస్రం పొడుగు వెడల్పులకి మధ్య ఉండే నిష్పత్తి ఈ సువర్ణ నిష్పత్తికి దగ్గరగా ఉంటే ఆ దీర్ఘ చతురస్రం కంటికి ఎంతో ఇంపుగా కనిపిస్తుందని చిత్రకారులు అంటారు. అందంగా ఉన్న వాళ్ళ ముఖాలు కొంచెం పరిశీలించి చూడండి. అవి గుండ్రంగా చంద్రబింబాన్ని పోలి ఉంటే చలివిడి ముద్దలాగో, బోర్లించిన సిబ్బిలాగో ఉందంటాం. కోలగా పొడుగ్గా ఉంటే గజం బద్దలా ఉందంటాం. ముఖం పొడవు, వెడల్పు మధ్య ఉండే నిష్పత్తి సువర్ణ నిష్పత్తికి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు ఆ ముఖం అందంగా కనిపిస్తుందిట.

గణితశాస్త్ర పరంగా

గణితశాస్త్రంలో, అనిష్ప సంఖ్య అనేది భిన్నం రూపంలో - అనగా ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$గా - వ్యక్తీకరించడానికి వీలుపడనిది. ఇక్కడ p, qలు పూర్ణాంకాలు. అనిష్ప సంఖ్యని సాధారణ భిన్నం రూపంలో వ్యక్తీకరించలేమని దీని అర్థం. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీన్ని నిర్వచనంగా తీసుకోనప్పటికీ, అనిష్ప సంఖ్యలు పునరావృతమవుతున్న దశాంశ భిన్నాలుగా వ్యక్తీకరించబడలేవు. వాస్తవ సంఖ్యలు (real numbers) అగణ్యాలని (uncountable) (, నిష్ప సంఖ్యలు గణ్యాలు (countable) అని చెప్పిన కేంటర్ (Cantor) నిరూపణ ఫలితంగా, దాదాపు అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అనిష్ప సంఖ్యలు అని చెప్పబడుతున్నాయి.^[2] బహుశా, అనిష్ప సంఖ్యలకు చక్కటి నిదర్శనం π, e, √2.^[3][4][5]

చరిత్ర

అనిష్ప సంఖ్య అనే భావనను క్రీస్తు పూర్వం 7వ శతాబ్ది కాలం నుంచే భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు పరిపూర్ణంగా ఆమోదించారు, ఉదాహరణకు మానవ (c. 750–690 BC) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {6}}1}$ వంటి వర్గ మూలాలని కచ్చితంగా నిర్ణయించలేమని భావించాడు.^[6]

అనిష్ప సంఖ్యల ఉనికికి సంబంధించిన తొలి నిరూపణ పైథాగరీయ వ్యక్తికి (బహుశా మెటాపోంటమ్ నగరానికి చెందిన హిప్పాసస్‌ కి) అనువర్తించబడుతోంది.^[7] పంచకోణ నక్షత్రం (pentagram) పార్శ్వాల పొడుగులని నిర్ణయిస్తూన్నప్పుడు బహుశా ఈ ఫలితాన్ని కనుగొని ఉంటారు.^[8]

సా. శ. పూ. 5వ శతాబ్ది నాటి హిప్పాసస్ ఒక సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క కర్ణం పొడుగు ఆసన్న భుజాల పొడుగులతో నిష్ప సంఖ్యల ద్వారా సాధించలేమని ఈ దిగువ చూపిన మాదిరి తర్కంతో ఋజువు చేసేడు.

• ఒక సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజం ఉందనుకుందాం. దాని బాహువుల పొడుగులు a, b, c అనుకుందాం. సమద్విబాహు త్రిభుజం కనుక a = b అనుకుందాం. కర్ణం పొడుగు c అనుకుందాం.
• a, b, c లు వాటి వాటి అత్యంత స్వల్ప ప్రమాణాల విలువలతో ఉన్నాయని అనుకుందాం. అనగా వాటికి ఉమ్మడి కారణాంకాలు లేవు.
• పైథాగరన్ నియమం ద్వారా: c² = a² + b² = b² + b² = 2b².
• c² = 2b² కనుక c² సరి సంఖ్య అయి తీరాలి.
• c² సరి సంఖ్య అయినందున, c సరి సంఖ్యగానే ఉండాలి.
• c సరి సంఖ్య కనుక దానిని 2 చేత భాగించగా వచ్చే y కూడా సరి సంఖ్య అవుతుంది. c = 2y అనుకుందాం.
• c² = 4y²
• ఇప్పుడు మొదట్లో వచ్చిన c² = 2b² లో c² = 4y² ప్రతిక్షేపించగా 4y² = 2b² వస్తుంది. లేదా, 2y² = b²
• y పూర్ణాంకం కనుక b² సరి సంఖ్య అయి తీరాలి. కనుక b సరి సంఖ్య అయి తీరాలి.
• ఇక్కడ b, c లు రెండూ సరి సంఖ్యలు అయి తీరాలని ఋజువు చేసేం. కనుక వీటిని రెండింటిని 2 చేత భాగించవచ్చు. మనం మొదట్లో వాటికి ఉమ్మడి కారణాంకాలు లేవనుకున్నదానికి ఈ ఫలితం విరుద్ధంగా ఉంది. కనుక b, c లు రెండూ పూర్ణాంకాలు కాజాలవు.^[9]

ఇలా కొలతకు లొంగని నిష్పత్తికి గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అలోగోస్ (అనగా, వ్యక్తీకరించలేని "పరిమేయత" (magnitude)) అని పేరు పెట్టేరు. అంతేకాని హిప్పాసస్ చేసిన ఆవిష్కరణని ఎవ్వరూ మెచ్చుకోలేదు: ఒక కథనం ప్రకారం, హిప్పాసస్ తన ఆవిష్కరణను సముద్ర ప్రయాణం చేస్తూ ఉండగా కనుగొన్నాడట. “విశ్వంలోని సమస్త దృగంశాలని పూర్ణ సంఖ్యల స్థాయికి కాని, వాటి నిష్పత్తుల స్థాయికి కాని కుదించవచ్చని చెప్పిన పైథాగరోస్ సిద్ధాంతాన్ని పూర్వపక్షం చేస్తున్న సరికొత్త అంశాన్ని ప్రపంచానికి అందించినందుకు గాను” అంటూ అతని తోటి "పైధాగరన్ సహచరులు" హిప్పాసస్ ని ఓడ నుంచి తోసివేశారట.^[10] ఈ ఆవిష్కరణకు గాను హిప్పాసస్‌ను దేశబహిష్కారం చేసేరని మరొక కథనం చెబుతోంది. హిప్పాసస్‌కు ఏ గతి పట్టినప్పటికీ, అతడి ఆవిష్కరణ మాత్రం పైథాగరన్ గణిత శాస్త్రానికి పెను సమస్యను తీసుకుని వచ్చింది. సంఖ్య (number), జ్యామితి (geometry) అనే రెండు భావాలు విడదీయరానివని వారు అంతవరకు ప్రతిపాదిస్తూ వచ్చిన భావనను అది పెకిలించివేసింది.

"సంఖ్య" (number) అనే భావం "పరిమేయత" (magnitude) అనే భావం - ఈ రెండు భావాలు ఒకటి కాదనే స్పృహ వచ్చిన తరువాత జ్యామితి ఒక్కటే అనిష్ప భావాలని పరిగణనలోకి తీసుకోడానికి సావకాశాన్ని ఇచ్చింది. పరిమేయత అనేది సంఖ్య కాదు; పరిమేయత అనేది, ఒక గీత ఎంత పొడుగుందో, ఒక అంశం ఎంత బరువుందో, ఒక పని చెయ్యడానికి ఎంత సేపు పడుతుందో, వగైరాలని పోల్చి చెప్పడానికి వాడే కొలమానం. పొడుగు అనేది 1 సెంటీమీటరు ఉండొచ్చు, అంతకంటే కాసింత ఎక్కువ ఉండొచ్చు. ఒక బంగారపు నగ 10 గ్రాములు ఉండొచ్చు లేదా 9 కంటే ఎక్కువ, 10 కంటే తక్కువ ఉండొచ్చు. ఒక పని చెయ్యడానికి గంట పట్టవచ్చు, నిమిషం పట్టవచ్చు, సెకండు పట్టవచ్చు, లిప్త కాలం పట్టవచ్చు. "సంఖ్య అనగానే 1, 2, 3, ... వంటి పూర్ణాంకాలకో 1/2, 1/3, 1/4, ..., వంటి భిన్నాలకో పరిమితం అయిపోవాలి. మధ్యేమార్గానికి తావు లేదు. సంఖ్య ఒక వివిక్త (discrte) భావానికి ప్రతీక. పరిమేయత అనేది అవిరళ (continuous) భావానికి ప్రతీక. ఇలా ఆలోచిస్తే అనిష్ప సంఖ్యలు వివిక్తమైన సంఖ్యలకి ప్రతీకలు కాజాలవు, అవి అవిరళ భావానికి దగ్గర" అని స్నైడస్ కి చెందిన ఎక్సోడస్ ఆలోచించడం మొదలు పెట్టేడు.

ఈ సందర్భంలోనే బీజగణిత భావాలని జ్యామితి అనే పట్టకం ద్వారా చూడడం ఆరంభం అయిందని చెప్పుకోవచ్చు. "పరిమేయత" అనేది పంక్తి విభాగాలు, కోణాలు, ప్రాంతాలు, నిరంతరం మారుతూ ఉండే కాలం, వంటి అంశాలను సూచిస్తుంది.^[11] “యుడోక్సస్ సిద్ధాంతం, కొలువలేని నిష్పత్తులకు సంబంధించి తార్కిక పునాదిని అందించడం ద్వారా గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు జ్యామితి శాస్త్రంలో అద్భుతమైన ప్రగతిని సాధించడానికి చక్కగా ఉపకరించింది."^[12] యూక్లిడ్' రచించిన ఎలిమెంట్స్ బుక్ 10 అనిష్ప పరిమాణాల వర్గీకరణకు అంకితమైంది.

సైరీన్‌ పట్టణానికి చెందిన థియోడొరస్ 1 నుండి 17 వరకు ఉన్న కొన్ని పూర్ణ సంఖ్యల యొక్క వర్గమూలాలు అనిష్పాలు అని నిరూపించాడు కాని, అతడు ఉపయోగించిన బీజగణితం ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$కి అనువర్తించలేకపోయినందున అతడు అక్కడే ఆగిపోయాడు.^[13] నిష్ప, అనిష్ప సంఖ్యల నిష్పత్తులు రెండింటినీ పరిగణనలోకి తీసుకున్న అనురూప సూత్రాన్ని యుడోక్సస్ వృద్ధి చేసినంత వరకు అనిష్ప సంఖ్యలకు సంబంధించి దృఢమైన గణితశాస్త్ర పునాది రూపుదిద్ధుకోలేదు.^[14]

మధ్యయుగం

మధ్య యుగాలలో, అరబ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ద్వారా వృద్ధి చేయబడిన బీజగణితం అనిష్ప సంఖ్యలను "బీజగణిత అంశాలు"గా పరిగణించడానికి అనుమతించింది.^[15] అరబ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు "సంఖ్య", "పరిమేయత" అనే భావనలను వాస్తవ సంఖ్యలకు సంబంధించిన సాధారణ భావనలలో కలిపివేశారు. యూక్లిడ్ నిష్పత్తుల భావనను వీరు విమర్శించి, మిశ్రమ నిష్పత్తుల సిద్ధాంతాన్ని వృద్ధి చేశారు. అంతేకాక, సంఖ్యా భావనను నిరంతర పరిమేయ నిష్పత్తులకు పొడిగించారు.^[16] యూకిలిడ్ ఎలిమెంట్స్, 10 వ పుస్తకంపై పారశీక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అల్-మహాని (d. 874/884) చేసిన వ్యాఖ్యలో, వర్గ అనిష్పాలని, ఘన అనిష్పాలను (cubic irrationals) పరిశీలించి, వర్గీకరించాడు. ఇతడు నిష్ప, అనిష్ప పరిమేయతలకి నిర్వచనాలను ఇచ్చి, వీటిని అనిష్ప సంఖ్యలుగా గుర్తించాడు. ఇతడు వీటిని స్వేచ్ఛగా పరిశీలించాడు కాని, కింద ఉదహరించిన విధంగా వాటిని జ్యామితీ నియమాలతో వివరించాడు:^[17]

"It will be a rational (magnitude) when we, for instance, say 10, 12, 3%, 6%, etc., because its value is pronounced and expressed quantitatively. What is not rational is irrational and it is impossible to pronounce and represent its value quantitatively. For example the roots of numbers such as 10, 15, 20 which are not squares, the sides of numbers which are not cubes etc."

పరిమేయతలని పంక్తులుగా ఊహించుకున్న యూక్లిడ్ భావనకు భిన్నంగా, అల్-మహాని పూర్ణాంకాలును, భిన్నాలను నిష్ప పరిమేయతలుగా, వర్గ మూలాలను, ఘన వర్గాలను అనిష్ప పరిమేయతులుగా గుర్తించాడు. ఇతడు అనిష్ప భావాన్ని అంకగణితపరమైన దృష్టితో పరిచయం చేశాడు, ఎందుకంటే అతడు కింది అనిష్ప పరిమేయతులను అనుసరించాడు:^[17]

"their sums or differences, or results of their addition to a rational magnitude, or results of subtracting a magnitude of this kind from an irrational one, or of a rational magnitude from it."

ఈజిప్ట్‌కి చెందిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అబు కమాల్ షూజా ఇబిన్ అస్లామ్ (c. 850–930) అనిష్ప సంఖ్యలను వర్గ సమీకరణలకు పరిష్కారాలుగా లేదా సమీకరణలో గుణకాలుగా ఆమోదించిన మొట్టమొదటి వ్యక్తి. ఇవి తరచుగా వర్గమూలాల రూపంలో, ఘన మూలాల రూపాల్లో,, చతుర్థ మూలాల రూపంలో ఉంటాయి.^[18] 10వ శతాబ్దంలో, ఇరాకీ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అల్ హషిమి అనిష్ప సంఖ్యలకు సాధారణ పరిమేయతలు (జ్యామితీయ పరిమేయతలకు కాకుండా) అందించాడు. ఎందుకంటే ఇతడు గుణకారం, భాగహారం, మొదలైన ఇతర అంకగణిత చర్యలను గుర్తించాడు.^[19] అబు జాఫర్ అల్-ఖాజిన్ (900–971) నిర్దిష్టమైన పరిమాణంగా ప్రతిపాదిస్తూ నిష్ప, అనిష్ప పరిమేయతులకు నిర్వచనం అందించాడు:^[20]

"contained in a certain given magnitude once or many times, then this (given) magnitude corresponds to a rational number. . . . Each time when this (latter) magnitude comprises a half, or a third, or a quarter of the given magnitude (of the unit), or, compared with (the unit), comprises three, five, or three fifths, it is a rational magnitude. And, in general, each magnitude that corresponds to this magnitude (i.e. to the unit), as one number to another, is rational. If, however, a magnitude cannot be represented as a multiple, a part (l/n), or parts (m/n) of a given magnitude, it is irrational, i.e. it cannot be expressed other than by means of roots."

ఈ భావనలలో చాలావాటికి 12వ శతాబ్దిలో లాటిన్ అనువాదాలు వచ్చాక యూరోపియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఎట్టకేలకు ఆమోదించారు. (ఉత్తర ఆఫ్రికా) లోని మాఘ్రెబ్ ప్రాంతానికి చెందిన అరబ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అల్ హస్సార్ 12వ శతాబ్దంలో ఇస్లామిక్ వారసత్వ చట్టంపై ప్రత్యేక కృషి చేశాడు, ఇతడు భిన్నాలకు ఆధునిక సంకేత గణిత శాస్త్ర సంజ్ఞామానంని వృద్ధి చేశాడు, దీనిలో లవం, హారం ఒక అడ్డుగీతతో వేరు చేయబడ్డాయి. భిన్నానికి సంబంధించిన ఈ సంకేతమే, తర్వాత 13వ శతాబ్దిలో ఫిబోనాచీ కృషిలో కనిపించింది.^{[ఆధారం చూపాలి]}

భారతదేశంలో

భారతదేశంలో, వేదకాలం నుండీ, అనిష్ప సంఖ్యల ఉనికి పై అవగాహన ఉన్నట్లు ఆధారాలు ఉన్నాయి. సంహితాలలోనూ, బ్రాహ్మణాలలోనూ, సుల్భ సూత్రాలలోనూ (సా. శ. పూ. 800) వర్గమూలాల వంటి భావనలు ఉన్నాయనడానికి ఆధారాలు కనిపిస్తున్నాయి.^[21]

ఆర్యభట (సా. శ. 5 శతాబ్దం) π విలువని 5 దశాంశ స్థానాల వరకు కట్టినప్పుడు "ఆసన్న" అనే మాటని ప్రయోగించేడు కనుక ఆ పై విలువ కేవలం ఉరమర లెక్క అన్న అర్థమే కాకుండా, π విలువ కచ్చితంగా తేల్చలేమనే భావం కూడా స్పురిస్తోంది కనుక అనిష్ప సంఖ్యలు ఉన్నాయేమోనన్న భావం ఆర్యభట మెదడులో మెదిలిందేమోనన్న వాదం కూడా లేకపోలేదు. తదుపరి కాలంలో భారతీయ గణిత వేత్తలు వర్గ, ఘనమూలాలని విలువ కట్టడంలో కృషి చేసిన దాఖలాలు ఉన్నాయి.^[22]

సా. శ. 14 - 16 శతాబ్దాల మధ్య కాలంలో కేరళ లోని గణిత-జ్యోతిష విద్యాపీఠానికి చెందిన సంగమాగ్రమ మాధవ π విలువని లక్కకట్టడానికి అనంత శ్రేణులని ఆవిష్కరించిన వారిలో ఆద్యుడన్నది నిర్వివాదాంశం. జ్యేష్ఠదేవ ఈ అనంత శ్రేణుల ఋజువులని యుక్తిభాష లో పొందుపరచాడు.^[23]

అధునిక కాలం

ఆధునిక కాలంలో, 17వ శతాబ్దిలో అబ్రహామ్ డే మోవ్రె, ప్రత్యేకించి లియొన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ల చేతులలో ఇమేజినరీ సంఖ్యలు శక్తివంతమైన సాధనాలుగా మారాయి. పందొమ్మిదో శతాబ్దిలో సంక్లిష్ట సంఖ్యల (en:complex numbers) విద్య పరాకాష్ఠ అందుకోవడంతో అనిష్ప సంఖ్యలని బీజగణిత (en:algebraic), బీజాతీత (en:transcendental) సంఖ్యలుగా విడదీసి గుర్తించడం జరిగింది.

సా. శ. 1872లో కార్ల్ వైయర్‌స్ట్రాస్ సూత్రాలను (అతడి శిష్యులు కొసాక్), హైనే (క్రెలె, 74), జార్గ్ కాంటర్ (అన్నాలెన్, 5),, రిచ్చర్డ్ డెడికిండ్ ప్రచురించారు. హైనే వదిలిపెట్టిన అంశాన్నే 1869లో మెరే స్వీకరించాడు కాని, ఈ సూత్రం సాధారణంగా 1872 సంవత్సరంలోనే వెలుగులోకి వచ్చినట్లుగా ప్రస్తావించబడింది. వైవర్‌స్ట్రాస్ పద్ధతిని 1880లో సాల్వటోర్ పించెర్లే పూర్తిగా ముందుకు తీసుకు వచ్చాడు, రచయిత తదుపరి రచన (1888) ద్వారా దానికి (1894) లో పాల్ టాన్నెరీ చేసిన సమ్మతి పత్రం ద్వారా డెడెకిండ్ అదనపు ప్రాధాన్యతను పొందాడు. వైయర్‌స్ట్రాస్, కాంటర్, హైనే అపరిమిత శ్రేణులపై ఆధారపడి తమ వాదాలని రూపొందించగా, డెడికిండ్ వాస్తవ సంఖ్యల వ్యవస్థలో కోత (కట్) అనే భావనపై తన వాదనని రూపొందించాడు. ఇతడు అన్ని నిష్ప సంఖ్యలను నిర్దిష్ట లక్షణాలు కలిగిన రెండు గుంపులుగా విభజించాడు. ఈ అంశానికి వైయర్‌స్ట్రాస్, క్రొనెకెర్ (క్రెల్లె, 101),, మెరే చేతుల్లో తదుపరి మెరుగులు పొందింది.

నిరంతరాయ భిన్నాలు, అనిష్ప సంఖ్యలకు సన్నిహితంగా ఉంటాయి కాబట్టి ఇవి ఆయిలర్ చేతుల్లో మరింత మెరుగు దిద్దుకున్నాయి. పైగా, పందొమ్మదవ శతాబ్ది ప్రారంభంలో లాగ్రాంజ్ రచనల ద్వారా ఇవి ప్రాధాన్యత సంతరించుకున్నాయి. ఈ పఠనాంశానికి డిరిక్లే తోపాటు పలువురు శాస్త్రజ్ఞులు తమవైన అనువర్తనాలని జోడించారు కూడా.

సా. శ. 1761 లో π నిష్పం కాజాలదని లాంబెర్ట్ నిరూపించాడు. అంటే కాకుండా ఒక సంఖ్య n నిష్పం కాకపోతే (n = 0 కానట్లయితే) e ⁿ అనిష్పంగా ఉంటుంది అని నిరూపించాడు.^[24] లాంబెర్ట్ ఇచ్చిన ఋజువు అసంపూర్ణం అని కొందరు ఆక్షేపించినా, ఆధునిక మదింపు దీన్ని సంతృప్తికరంగానే ఉందని బలపరుస్తోంది. వాస్తవానికి దాని కాలంలో ఇది అసాధారణంగా దిట్టమైన ఋజువు. ఆడ్రెయిన్-మేరీ లెజాండర్ 1794 లో బెస్సెల్–క్లిఫర్డ్ ప్రమేయం (ఫంక్షన్‌)ని ప్రవేశపెట్టి, π²ని అనిష్పమైనదని చూపించడంతో π కూడా అనిష్పమే అని ౠజువైపోయింది. బీజాతీత సంఖ్యల ఉన్నాయని మొదటి సారిగా లియువిల్ (1844, 1851) ౠజువు చేసేడు. తరువాత, జార్జ్ కాంటర్ 1873 లో, మరొక భిన్నమైన పద్ధతిలో, వీటి ఉనికిని ఋజువు చేసేడు. నిజ రేఖ మీద ప్రతి విరామంలో కూడా బీజాతీత సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుందని ఇది చూపించింది. చార్లెస్ హెర్మైట్ (1873) మొదటగా e బీజాతీత సంఖ్య అని నిరూపించాడు. ఫెర్డినాండ్ వాన్ లిండెమాన్ (1882), హెర్మైట్ నిర్ధారణల నుంచి మొదలుపెట్టి π కూడా బీజాతీతమే అని నిరూపించాడు. లిండెమాన్ నిరూపణను వైయర్‌స్ట్రాస్ (1885) మరింతగా సులభతరం చేశాడు, దీన్ని డేవిడ్ హిల్బర్ట్ (en:Hilbert) (1893), మరింత మెరుగుపరచగా, చివరగా అడోల్ఫ్ హుర్విజ్, పాల్ ఆల్బర్ట్ గోర్డాన్ ప్రాథమిక సూత్రంగా రూపొందించారు.

ఉదాహరణలు

వర్గమూలాలు

• అనిష్ప సంఖ్యగా ఋజువు చేయబడ్డ తొట్టతొలి సంఖ్య 2 యొక్క వర్గమూలం.
• సువర్ణ నిష్పత్తి పేరెన్నిక పొందిన మరొక వర్గు అనిష్ప సంఖ్య.
• పరిపూర్ణ వర్గులు కాని అన్ని సహజ సంఖ్యల వర్గమూలాలు అనిష్పాలు.

2 యొక్క వర్గమూలం అనిష్పం అని ఋజువు చెయ్యడానికి అనిష్టాపత్తి (reductio ad absurdum) అనే పద్ధతిని ఉపయోగిస్తారు. తర్కశాస్త్రంలో ఒక ప్రవచనాన్ని ఋజువు చెయ్యవలసి వచ్చినప్పుడు, సదరు ప్రవచనానికి విరుద్ధమైన ప్రవచనంతో మొదలుపెట్టి, దానిని మర్ధించి, మర్ధించి చివరికి ఆ విరుద్ధ ప్రవచనం అసాధ్యం అని ఋజువు చెయ్యడం; తార్కిక గణితంలో ఈ ఋజువు పద్ధతి ఎక్కువ ప్రచారంలో ఉన్న పద్ధతులలో ఒకటి.

సంవర్గమానాలు

అనిష్పాలు అని అతి సులభంగా నిరూపించడానికి వీలయిన సంఖ్యలు కొంతవరకు సంవర్గమానాల రూపంలో ఉంటాయి. ఇక్కడ అనిష్ఠాపత్తి ఉపయోగించి నిరూపణ చెయ్యవచ్చు. ఉదాహరణకి ${\displaystyle \log _{2}3}$ అనిష్పం అని దిగువ ఋజువు చేద్దాం. ఈ ${\displaystyle \log _{2}3}$ ≈ 1.58 > 0 అని గుర్తించండి.

ముందు ${\displaystyle \log _{2}3}$ నిష్పమని అనుకుందాం. ఇప్పుడు m, n పూర్ణాంకాలు అయితే, ఈ దిగువ పావంచాల మీదుగా ౠజువుని నడిపించవచ్చు:

${\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}}$

${\displaystyle 2^{m/n}=3\,}$

${\displaystyle (2^{m/n})^{n}=3^{n}\,}$

${\displaystyle 2^{m}=3^{n}\,}$

ఇప్పుడు 2 ని ఏ ధన సంఖ్యతో ఘాతించినా తప్పనిసరిగా సరి సంఖ్య సమాధానంగా వస్తుంది. (ఎందుకంటే, ఇది 2 చేత విభజించబడుతుంది కనుక.) ఇదే విధంగా 3 ని ఏ ధన సంఖ్యతో ఘాతించినా తప్పనిసరిగా బేసి సంఖ్య సమాధానంగా వస్తుంది. (ఎందుకంటే, దాని ప్రధాన కారణాంకాలలో 2 ఉండదు కనుక.)ఒక పూర్ణాంకం ఒకే సమయంలో సరి సంఖ్యగానూ, బేసి సంఖ్యగానూ ఉండలేదు కనుక ఇక్కడ ఒక వైరుధ్యం వచ్చింది. మనం మొదట్లో అనుకున్న ఏకైక ప్రతిపాదన ఏదంటే, ${\displaystyle \log _{2}3}$ నిష్పం అని (అనగా, పూర్ణాంకాల లబ్ధంతో m /n, n ≠ 0 లా వ్యక్తీకరించబడుతుంది అని). వైరుధ్యం వచ్చింది కనుక మన ప్రతిపాదన భావన తప్పు అని అర్థం.

బీజాతీత , బీజగణిత అనిష్పాలు

• దాదాపు అన్ని అనిష్ప సంఖ్యలూ బీజాతీత సంఖ్యలు
• అన్ని నిజ బీజాతీత సంఖ్యలు (transcendental) అనిష్పాలు
• సంక్లిష్ట బీజాతీత సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయి.
• r ≠ 0 నిష్పమయితే, e ^r and π ^r అనిష్పాలు; e ^π కూడా అనిష్పం.

గణ్యమైన నిజ బీజగణిత సంఖ్యలలో అనిష్ప సంఖ్యలను కనుగొనే పద్ధతి మరొకటి ఉంది. (గణ్యమైన నిజ బీజగణిత సంఖ్యలు అంటే పూర్ణాంకాలు గుణకాలుగా కల బహుపద సమాసాల నిజ మూలాలు.) ఉదా. పూర్ణాంక గుణకాలతో కూడిన బహుపద గణిత సమాసం:

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\,}$

ఇక్కడ గుణకాలు ${\displaystyle a_{i}}$లు పూర్ణాంకాలు. ${\displaystyle a_{n}{\neq 0}}$ ఉన్న చోట బహుపద సమీకరణం ప్రారంభమవుతుంది. ఈ బహుపద సమీకరణానికి నిష్పమైన మూలం అంటూ ఉన్నట్లయితే, అది ${\displaystyle r/s}$ అయితే, అప్పుడు r అనేది a ₀ యొక్క విభాజకంగానూ, s అనేది a _n యొక్క విభాజకంగాను ఉంటుంది.

దశాంశ విస్తరణలు

ఒక అనిష్ప సంఖ్య యొక్క దశాంశ విస్తరణ (నిష్ప సంఖ్య లా కాకుండా) ఎన్నటికీ పునరావృతం కాదు. ఇదే ఫలితం ద్వియాంశ (binary), అష్టాంశ (octal), షష్ఠాదశాంశ (hexadecimal) విస్తరణలలో కూడా కనిపిస్తుంది.

దీన్ని చూపేందుకు, మనం పూర్ణాంకం nని పూర్ణాంకం m చేత భాగించామనుకోండి (ఇక్కడ m శూన్యేతరం). ఇక్కడ పొడుగు భాగారం చేసినప్పుడు m శేషములు మాత్రమే సాధ్యం అవుతాయి. శేషం 0 అయినప్పుడు, దశాంశ విస్తరణ ఆగిపోతుంది. శేషం ఎన్నటికీ 0 కాకపోతే, అప్పుడు మన అభియుక్తి (algorithm) లో వచ్చిన శేషం మళ్లా రాకుండా m − 1 సార్లు జరుగుతుంది. తర్వాత, గతంలో చూసిన శేషాలే మళ్లా మళ్లా పునరావృతం అవుతాయి.

అలా కాకుండా, మనకి పునరావృత మవుతూన్న శేషం తారసపడితే, ఇది రెండు పూర్ణాంకాల యొక్క భిన్నం అని మనం ఋజువు చేయగలము. ఉదాహరణకు:

${\displaystyle A=0.7\,162\,162\,162\,\dots .}$

ఇక్కడ పునరావృతం అవుతూన్న అంశం 162. ఇప్పుడు మనం దశాంశ బిందువుని పునరావృతం అవుతూన్న అంశం (అనగా, 162) ముందుకి వచ్చేటట్లు జరపాలి. అందుకని మనం A ని 10 చేత గుణించేము.

${\displaystyle 10A=7.\,162\,162\,162\,\dots .}$

ఇప్పుడు పై సమీకరణాన్ని 10^r చేత గుణించాలి. ఇక్కడ r పునరావృతం అవుతూన్న అంశం (అనగా, 162) పొడుగు.

అందుకని A ని మనం 10³తో హెచ్చించాము:

${\displaystyle 10,000A=7\,16.2\,162\,162\,\dots .}$

ఇప్పుడు 10A కి 10,000 A కి - రెండింటికి - కుడి వైపు దశాంశ బిందువు తరువాత 0.162 162 162.... వస్తోంది కదా.

అందుచేత, మనం Aని రెండువైపుల నుండి తీసివేసినప్పుడు, 1000A యొక్క చివరి కొస A యొక్క చివరి కొసను రద్దు చేస్తుంది:

${\displaystyle 9990A=7155\,.}$

లేదా

${\displaystyle A={\frac {7155}{9990}}={\frac {135\times 53}{135\times 74}}={\frac {53}{74}},}$

ఇది ఒక నిష్ప సంఖ్య.

అనిష్ప ఘాతాలు

ఇక్కడ కొన్ని చిత్రమైన ఫలితాలు:

• ప్రశ్న: రెండు అనిష్ప రాశులు, a, b ఉన్నాయనుకుందాం. ఇప్పుడు ${\displaystyle a^{b}}$ నిష్పం అవాలంటే a, b ల విలువలు ఏమిటి?
• సమాధానం: ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$ అనుకుందాం. ఇది అనిష్పం అని మనకి తెలుసు. ప్రస్తుతానికి ${\displaystyle a={{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}$ కూడా అనిష్పం అనుకుందాం. ఇప్పుడు

a=√2^√2

b = √2.

a^b = (√2^√2)^√2 = √2^√2·√2 = √2² = 2. ఇది నిష్పం!

• పైన ${\displaystyle a={{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}$ అనిష్పం అని అనుకున్నాం. దానికి ఋజువు ఏదీ? గెల్ఫాండ్-స్నైడర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ${\displaystyle {{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}$ బీజాతీతం. కనుక అనిష్పం.
• గెల్ఫాండ్-స్నైడర్ సిద్ధాంతం ఏమంటుందంటే, a,bలు బీజీయ సంఖ్యలు అయి, a విలువ 0, 1 కాకపోతే,, b nishpaM kAkapOE, అప్పుడు ${\displaystyle {{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}$ బీజాతీతం అవుతుంది. దీన్ని ఋజువు చెయ్యడం కష్టం కాదు కానీ, వివరాలు ఆసక్తికరంగా ఉండవు కనుక ఇక్కడ ఆ ఋజువు చూపదలుకోలేదు.

శేష ప్రశ్నలు

π + e (లేదా π − e) అనిష్ప సంఖ్యా కాదా అనేది తెలియడం లేదు. ఆమాటకొస్తే, (${\displaystyle m\pi +ne}$) అనేది అనిష్ప సంఖ్యా? కాదా? అన్నది ఇంకా తేలలేదు (ఈ సందర్భంలో (${\displaystyle m\neq 0,n\neq 0}$)) అనేవి పూర్ణాంకాల జంటలు).

ఇదే విధంగా ${\displaystyle \pi e}$, ${\displaystyle {\pi }/e}$, 2^{\pi}, π^e, π^√2, వగైరాలు నిష్ప సంఖ్యలా కాదా అనేది తెలియడం లేదు.

అన్ని నిష్పల సంఖ్యల యొక్క సమితి

యథార్థాలు అగణ్య సమితిగా ఏర్పడినందువల్ల, నిష్ప సంఖ్యలు గణ్య ఉపసమితిగా ఉంటాయి, అనిష్ప సంఖ్యల కాంప్లిమెంటరీ సెట్ గణించదగనిది.

సాధారణ (యూక్లిడీన్) దూర పంక్షన్ d (x, y ) = |x − y | కింద, యథార్థ సంఖ్యలు మెట్రిక్ స్పేస్, అందుచేత స్థల వర్ణణాత్మక స్పేస్‌ కూడా. యూక్లిడియన్ డిస్టెన్స్ ఫంక్షన్‌ని నిరోధించడం అనేది అనిష్ప సంఖ్యలకు మెట్రిక్ స్పేస్ రూపం ఇస్తుంది. అనిష్ప సంఖ్యల సబ్‌స్పేస్ మూయబడనందున, పొందుపర్చబడిన మెట్రిక్ పూర్తి కాలేదు. అయితే, G-డెల్టా సెట్‌—i.e.గా ఉన్నందున, ఒక కంప్లీట్ మెట్రిక్ స్పేస్ లోని బహిరంగ సబ్ సెట్‌ల గణించదగిన ఖండనరేఖ, అనిష్ప సంఖ్యల స్పేస్ అనేది స్థల వర్ణనాత్మక సంపూర్తిగా ఉంటుంది: అంటే, ఏ అనిష్పసంఖ్యలు పూర్తవుతాయనే దానికి అనుగుణంగాయూక్లిడియన్ మెట్రిక్ యొక్క నిరోధంగా అదే స్థల వర్ణనశాస్రంతో పాటు అనిష్పసంఖ్యలలో మెట్రిక్ ఉంది. G-డెల్టా సెట్‌ల గురించి పైన చెప్పబడిన సత్యం గురించి తెలుసుకోకుండానే ఎవరైనా దీన్ని చూడవచ్చు: ఒక అనిష్ప సంఖ్య యొక్క కొనసాగించబడిన భిన్నం విస్తరణ అనేది, అనిష్ప సంఖ్యల స్పేస్ నుంచి అన్ని సానుకూల పూర్ణాంకాల వరుసల వరకు హోమియోమోర్ఫిజంని నిర్ణయిస్తుంది, దీన్ని పూర్తి మెట్రైజబుల్‌గా చూడవచ్చు.

పైగా, అన్ని అనిష్ప సంఖ్యల సెట్ ఒక డిస్‌కనెక్ట్ చేయబడిన మెట్రైజబుల్ స్పేస్‌. వాస్తవానికి, అనిష్పసంఖ్యలనేవి క్లోపెన్ సెట్లకు ప్రాతిపదికను కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి స్పేస్ ఒక జీరో-డైమెన్షనల్.

వీటిని కూడా చూడండి

• డెడికిండ్ కట్
• e అనిష్పం అనడానికి ప్రమాణం
• π అనిష్పం అనడానికి ప్రమాణం
• త్రికోణమితి సంఖ్య
• బీజాతీత సంఖ్య
• n వ మూలం
• 3 యొక్క వర్గమూలం

సూచికలు

1. వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు, వేమూరి నిఘంటువు (ఇంగ్లీషు-తెలుగు), https://te.wikipedia.org/wiki/
2. మూస:Harvrefcol. ISBN 978-0-7513-2886-8
3. ది 15 మోస్ట్ ఫేమస్ ట్రాన్సెండెంటల్ నంబర్స్. బై క్లిఫోర్డ్ ఎ. పిక్ ఓవర్. URL రిట్రైవ్డ్ 24 అక్టోబర్ 2007.
4. http://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html Archived 2010-08-29 at the Wayback Machine; URL రిట్రైవ్డ్ 24 అక్టోబర్ 2007
5. Weisstein, Eric W., "Irrational Number", MathWorld. URL రిట్రైవ్డ్ 26 అక్టోబర్ 2007.
6. టి. కె. పుట్టస్వామి, "ప్రాచీన భారత గణిత శాస్త్రజ్ఞుల విజయాలు", pp. 411–2, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. ISBN 1402002602..
7. Kurt Von Fritz (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics.
8. James R. Choike (1980). "The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number". The Two-Year College Mathematics Journal..
9. క్లిన్, ఎమ్. (1990). ప్రాచీన కాలం నుండి ఆధునిక కాలం వరకు గణిత శాస్త్ర చింతన , Vol. 1. న్యూయార్క్ : ఆక్స్‌ఫర్డ్ విశ్వవిద్యాలయ ముద్రణాలయం. (అసలు రచన 1972లో ప్రచురించబడింది). p.33.
10. క్లిన్ 1990, p. 32.
11. క్లిన్ 1990, p.48.
12. క్లిన్ 1990, p.49.
13. Robert L. McCabe (1976). "Theodorus' Irrationality Proofs". Mathematics Magazine..
14. Charles H. Edwards (1982). The historical development of the calculus. Springer.
15. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Arabic mathematics: forgotten brilliance?", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews..
16. Matvievskaya, Galina (1987). "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics". Annals of the New York Academy of Sciences. 500: 253–277 [254]. doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x..
17. Matvievskaya, Galina (1987). "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics". Annals of the New York Academy of Sciences. 500: 253–277 [259]. doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x.
18. జాక్విస్ సెసియానో, "ఇస్లామిక్ మాథ్‌మేటిక్స్", p. 148, ఇన్ Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. ISBN 1402002602..
19. Matvievskaya, Galina (1987). "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics". Annals of the New York Academy of Sciences. 500: 253–277 [260]. doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x..
20. Matvievskaya, Galina (1987). "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics". Annals of the New York Academy of Sciences. 500: 253–277 [261]. doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x..
21. Bag, Indian Journal of History of Science,25(1-4), 1990
22. Datta, Bibhutibhusan; Singh, Awadhesh Narayan (1993). "Surds in Hindu mathemathics" (PDF). Indian Journal of History of Science. 28 (3): 253–264. Archived from the original (PDF) on 3 అక్టోబరు 2018. Retrieved 18 September 2018.
23. Katz, V. J. (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 68 (3): 163–74.
24. J. H. Lambert (1761). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques". Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres der Berlin: 265–276.

• వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు, వేమూరి నిఘంటువు (ఇంగ్లీషు-తెలుగు), https://te.wikipedia.org/wiki/
• వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు, రామనుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ, ఇ-పుస్తకం, కినిగే ప్రచురణ (ఉచితం), http://kinige.com/kbook.php?id=6975%5B%5D

మరింత చదవడానికి

• ఆడ్రెయిన్-మేరీ లెజాండర్, ఎలిమెంట్స్ డె జియోమెట్రి, నోట్ IV, (1802), పారిస్
• రాల్ఫ్ వల్లీసెర్, "ఆన్ లాంబర్ట్స్ ప్రూఫ్ ఆఫ్ ది ఇర్రేషనాలిటీ ఆఫ్ ఎన్", ఇన్ ఆల్జీబ్రాయిక్ నంబర్ థియరీ అండ్ డైఫాంటైన్ అనాలిసిస్, ఫ్రాంజ్ హాల్టర్-కోచ్ అండ్ రాబర్ట్ ఎఫ్. టిచీ, (2000), వాల్టర్ డే గ్రుయెర్

బాహ్య లింకులు

• Weisstein, Eric W., "Irrational Number", MathWorld.
• 2 యొక్క వర్గమూలం అహేతుకం

మూస:Number Systems