వర్గ సమీకరణం

The graph of a real-valued quadratic function of a real variable x, is a parabola.

${\displaystyle {ax^{2}+bx+c=0}}$ రూపంలో గల సమీరకణమును వర్గనమీకరణం అందురు. దీని పరిమాణం=2, దీనికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి.

సాధారణ రూపం

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,\!}$ సమీకరణంలో ${\displaystyle {a,b,c}}$ లు చరరాశులై ${\displaystyle {a\neq \,0}}$ అయి ఉండాలి.

మూలములు కనుగొనుటకు సూత్రము

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,}$ వర్గ సమీకరణములో రెండు మూలములు కనుగొనుటకు ఈ సూత్రం ఉపయోగపడుతుంది.

ఈ సమీకరణము యొక్క మూలములు^[1]

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

ఇందులో "+", " - " గుర్తులు రెండుమూలాలను కనుగొనుటకు ఉపకరిస్తాయి. అనగా

${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

అనునవి మూలాలు అవుతాయి.

విచక్షణి

వర్గ సమీకరణము యొక్క మూలములు కనుగొనుటకు సూత్రములో వర్గమూలంలో గల పదము అనగా ${\displaystyle {b^{2}-4ac}}$ను విచక్షణి అంటారు.దీనిని ${\displaystyle \Delta \,}$తో సూచిస్తారు.

వర్గ సమీకరణ మూలాలు ${\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta \,}}}{2a}}\,}$, ${\displaystyle {\frac {-b-{\sqrt {\Delta \,}}}{2a}}\,}$ అవుతాయి.

మూలాల స్వభావము

విచక్షణి విలువను బట్టి మూలాల స్వభావము

విచక్షణి (${\displaystyle \Delta \,}$${\displaystyle {=b^{2}-4ac}}$) విలువ	మూలాల స్వభావం
${\displaystyle \Delta \,=0}$	మూలాలు సమానములు, వాస్తవ సంఖ్యలు
${\displaystyle \Delta \,>0}$	మూలములు అసమానములు, వాస్తవములు
${\displaystyle \Delta \,=<0}$	మూలములు సంకీర్ణ సంఖ్యలు

మూలముల మొత్తం,లబ్దం

${\displaystyle {ax^{2}+bx+c=0}}$ వర్గసమీకరణము యొక్క మూలాలు ${\displaystyle \alpha \,,\beta \,}$ లు అయితే

మూలముల మొత్తం(${\displaystyle \alpha \,+\beta \,}$)${\displaystyle ={\frac {-b}{a}}}$
మూలముల లబ్దం (${\displaystyle \alpha \,\beta \,}$)${\displaystyle ={\frac {c}{a}}}$

α , β {\displaystyle \alpha \,,\beta \,} లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణం

${\displaystyle {a^{2}-(\alpha \,+\beta \,)x+\alpha \,\beta \,=0}}$

మూలాలు

1. Crilly, Tony (2007), 50 mathematical ideas you really need to know, Quercus Publishing, p. 58, ISBN 978-1-84724-008-8