வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு

கணிதத்தில் வரிசைமாற்றங்களை சுழல்களின் சேர்வைகளாக மட்டுமல்ல, வெட்டாத (disjoint)சுழல்களின் சேர்வைகளாகக் குறிகாட்டலாம். இப்படிச் செய்வதால் வரிசைமாற்றங்களின் பண்புகள் எளிதாக்கப்படுகின்றன. வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு (Cycle Structure of a Permutation) வரிசைமாற்றக் குலங்களின் கோட்பாட்டில் ஒரு அடித்தளக் கருத்து.

{1,2,3,4,5} என்ற 5-கணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுவோம்.

\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\end{pmatrix}}

\tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}

என்றால்,

\sigma \circ \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&1&2&5&3\end{pmatrix}}

அதாவது, முதலில் $\tau$ ; பிறகு $\sigma$ . வேறுவிதமாகச் சொன்னால், சேர்வை வலமிருந்து இடம் போகிறது. இதை மாற்றிச்சொல்லும் நூல்களும் பழக்கமும் உண்டு. ஆனால், குழப்பமில்லாமலிருப்பதற்காக இக்கட்டுரையில் ஒரே வழி பின்பற்றப்படுகிறது.

$\sigma \circ \tau$ வை $\sigma \tau$ என்றே எழுதவும் செய்யலாம்.

$n$ பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் அடங்கிய கணம் $S_{n}$ என்று குறிக்கப்படும். இதனில் $n!$ வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. இது மேலே வரையறுக்கப்பட்ட சேர்வைக்கு குலம் ஆகிறது. இது n பொருள்களின் சமச்சீர் குலம் (Symmetric Group on n objects) எனப்படும். இது $n!$ உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு முடிவுறு குலம். ஒரு பொருள்களையும் இடம் மாற்றாத முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் தான் இந்த குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு ; அதாவது,

e={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\1&2&3&\dots &n\end{pmatrix}}

.

மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் எளிதில் அதனுடைய நேர்மாற்றைத் தெரிந்துகொள்ள முடியும்.

எ.கா. :: $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\end{pmatrix}}$ என்றால் அதன் நேர்மாறு

= $\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&5&3&2&1\end{pmatrix}}$

\sigma ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\\sigma (a_{1})&\sigma (a_{2})&\dots &\sigma (a_{n})\end{pmatrix}}

என்ற வரிசைமாற்றத்தை

a_{1}\rightarrow \sigma (a_{1})\rightarrow \sigma (\sigma (a_{1}))......

என்று எழுதும்போது தொடக்கப்பொருளும் முடிவுப்பொருளும் ஒன்றாக இருந்தால் அவ்வரிசைமாற்றம் சுழல் எனப்படும்.

எ.கா.: ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&3&4&1&2\end{pmatrix}}$

இதனில் $1\rightarrow 5\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 1$ என்ற கணக்கில் பொருள்கள் மாறுகின்றன.

இதே சுழலை எளிதான முறையில் (15234) என்றும் குறிப்பிடலாம். ஆனால் இப்படி எழுதும்போது, இதையே ஐந்து விதமாகக் குறிப்பிடலாம் என்பது கவனத்துக்குரியது. அதாவது,

(15234) = (52341) = (23415) = (34152) =(41523).

வேறு விதமாகச்சொன்னால், ஒரு சுழலை எந்த உறுப்பிலும் தொடங்குவதாகக் காட்டலாம். ஒரு சுழலின் 'நீளம்' என்பது அதனில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையே.

வரிசைமாற்றக் குலத்திலிருக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு கிரமம் (Order) உண்டு. ஒரு உறுப்பின் 'கிரமம்' என்பது அதன் எத்தனையாவது அடுக்கு முற்றொருமையாகும் என்பதைச் சொல்வது. ஒரு சுழலின் கிரமம் அதனுடைய நீளத்திற்குச் சமம். $S_{5}$ இல் $\sigma$ = (15234) இன் கிரமம் 5; ஏனென்றால்