வடிவவியல்

வடிவவியல் (Geometry) ( பண்டைக் கிரேக்கம்: γεωμετρία; geo- "நிலம்", -metron "அளத்தல்") என்பது கணிதவியலின் ஒரு பிரிவாகும். இது உருவடிவம், உருவளவு, உருவங்களின் சார்பு இருப்புகள், வெளிசார் பண்புகள் ஆகிவற்றைப் பற்றிய அறிவுப் புலமாகும். இப்புலத்தில் வேலை செய்யும் கணிதவியலாளர் வடிவியலாளர் எனப்படுவார். இது புதுமைக் கணிதவியல் துறையின் இரு பிரிவுகளுள் ஒன்று. மற்றப் பிரிவு, எண்கள் தொடர்பான அறிவு பற்றியது. வடிவவியலைக் குறிப்பிட, வடிவ கணிதம், கேத்திர கணிதம் (இலங்கை கல்வித் துறையில் பயன்படும் கலைச்சொல்) போன்ற சொற்களும் பயன்படுகின்றன. தற்காலத்தில் வடிவவியல் கருத்துருக்கள், சிக்கல் தன்மை வாய்ந்ததும், உயர் நுண்ம (abstract) நிலைக்குப் பொதுமைப்படுத்தப்படுவனவாகவும் உள்ளன. அத்துடன் இத்துறையில் பயன்படுத்தப்படும் முறைகள் நுண்கலனக் கணிதம், நுண்ம இயற்கணிதம் (abstract algebra) தொடர்பானவையாகவும் இருப்பதனால், இன்றைய வடிவவியல் பிரிவுகளுள் சில மூல வடிவவியலிலிருந்து உருவானவை என்பதை அடையாளம் கண்டு கொள்ள முடியாதுள்ளது.

நடைமுறையில் நீளம், பரப்பு, பருமன் ஆகியவற்றைக் கையாள, பல்வேறு தொல்பண்பாடுகளில் வடிவியல் தனித்து தோன்றியுள்ளது. வடிவியல் முறையான கணிதவியல் கூறுகளுடன் மேற்கில் கி.மு ஆறாம் நூஊற்றாண்டில் தோன்றியது.^[1] கி.மு மூன்றாம் நூற்றாண்டுக்குள் அது அடிக்கோளியல் வடிவத்தை யுக்கிளிடின் ஆற்றலால் அடைந்த்து. இவரது நூலாகிய அடிப்படைகள்]] பல நூற்றாண்டுகளுக்கு பின்பற்றவல்ல செந்தரத்தை உருவாக்கியது.^[2] இந்தியாவில் கி.மு மூன்றாம் நூஊற்றாண்டளவிலேயே வடிவியல் விதிகள் அடங்கிய நூல்கள் தோன்றிவிட்டன.^[3] இசுலாமிய அறிவியலாளர்கள் கிரேக்க எண்ணக்கருக்களைக் காத்து இடைக்காலத்தில் மேலும் வளர்த்தெடுத்தனர்.^[4] 17 ஆம் நூஊற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் இரெனே தெ கார்த்தேவும் பியேர் தெ பெர்மாத்தும் வடிவியலைப் பகுப்பாய்வு அடிப்படைகளோடு உருமாற்றினர். அதற்குப் பிறகு வடிவியல் யூக்கிளிடியமல்லா வடிவியல், பருவெளி என மாந்த இயல்புப் பட்டறிவுக்கும் அப்பால் அமையும் உயர்வெளி பற்றியெல்லாம் நவிலத் (விவரிக்கத்) தொடங்கியது.^[5]

வடிவியல் தொடர்ந்து கணிசமாக பல்லாண்டுகளாக படிமலர்ந்தே வந்தாலும், வடிவியலுக்குரிய சில அடிப்படைப் பொது கருத்தினங்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றில் புள்ளிகள், கோடுகள், தளங்கள், பரப்புகள், கோணங்கள், வளைவுகள் ஆகியவற்றோடு மேலும் உயர்கருத்தினங்களாகிய, பருவெளிகள் (manifolds) இடத்தியல், பதின்வெளிகள் metric) ஆகியன உள்ளடங்கும்.^[6]

கலை, கட்டிடக் கவினியல் இயற்பியல் கணிதவியலின் பல பிரிவுகள் எனப் பல அறிவுப் புலங்களில் வடிவியல் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

பருந்துப் பார்வை

வளர்நிலை வடிவியல் பல புலங்களைக் கொண்டதாகும்:

யூக்கிளிடிய வடிவியல் என்பது செவ்வியல் கால வடிவியலின் வடிவமாகும். பல நாடுகளின் திட்டவட்டமான பாடத்திட்டத்தில் புள்ளிகள், கோடுகள், தளங்கள், கோணங்கள், முக்கோணங்கள், முற்றொருமை, ஒப்புடைமை, திண்வடிவங்கள், வட்டங்கள், பகுமுறை வடிவியல் ஆகிய கருப்பொருள்கள் அமைந்துள்ளன.^[7] யூக்கிளிடிய வடிவியல், கணினி அறிவியல், படிகவிளக்கவியல், பல்வேறு கணிதவியல் கிளைப்பிரிவுகளில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.
நுண்கலன வடிவியல் என்பது கலனக் கணிதம் அல்லது நுண்கணிதம், நேரியல் இயர்கணிதம் ஆகியவற்றின் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி வடிவியல் கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காண்கிறது. இத்துறை இயற்பியலிலும் பொதுச் சார்பியல் கோட்பாட்டிலும் பயன்படுகிறது.
இடத்தியல் தொடர் உருமாற்றங்களின்போது மாறாத வடிவியல் பொருள்களின் இயல்புகளை ஆய்கிறது. நடைமுறையில் இது தொடர்புடைமை, செறிமை போன்ற பெருவெளிகளின் இயல்புகளை ஆய்கிறது.
குவிநிலை வடிவியல் என்பது யூக்கிளிடிய வெளியில் குவிநிலை உருவடிவங்களையும் அதன் உயர்நுண் ஒப்புமைகளையும் இயல் பகுப்பியலின் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி ஆய்கிறது. இத்துறை குவிநிலைப் பகுப்பியல், உகப்புநிலைப்படுத்தல், சார்புப் பகுப்பியல் ஆகிய புலங்களோடு நெருங்கிய தொடர்புடையது. இதன் முதன்மையான பயன்பாடுகள் எண் கோட்பாட்டில் அமைகின்றன.
இயற்கணித வடிவியல் என்பது பன்மாறிப் பல்லுறுப்பிகள், பிற இயற்கணித நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி வடிவியலை ஆய்கிறது. இதன் பயன்பாடுகள் மறைகுறிவிளக்கவியல், சரக் கோட்பாடு உட்பட, பல புலங்களில் அமைந்துள்ளன.
கூறாக்க வடிவியல் என்பது எளிய வடிவியல் பொருட்களாகிய புள்ளிகள், கோடுகள், வட்டங்கள் அகியவற்றின் சார்பு இருப்புகளை ஆய்கிறது. இது பல முறைகளையும் நெறிமுறைகளையும் சேர்மானவியலுடன் பகிர்ந்து கொள்கிறது.

வரலாறு

வடிவவியல் தொடர்பான தொடக்கநிலைப் பதிவுகளைக் கி.மு 3000 ஆண்டு அளவிலிருந்தே, பண்டைய எகிப்து, சிந்துவெளி, மற்றும் பாபிலோனியா போன்ற இடங்களிலிருந்து கிடைத்த தொல்பொருட்கள் வழியாக அறிந்துகொள்ள முடிகின்றது.^[8]^[9] தொடக்கநிலையில் வடிவியல், நில அளவை, கட்டுமானம், வானியல், பல்வேறு கைவினைத் தொழில்கள் போன்றவற்றில் பயன்படுத்துவதற்காக உருவாக்கப்பட்ட நடைமுறைப் புலனறிவு சார்ந்த நீளம், கோணம், பரப்பு, பருமன் போன்ற வடிவஞ் சார்ந்த கருப்பொருள்களைப் பற்றிய நெறிமுறைகளின் தொகுப்பாகவே இருந்தது. வடிவியலின் மிகப் பழைய பனுவல்களாக, எகிப்திய இரிண்டு பாப்பிரசு (கி.மு 2000–1800)என்பதும் மாஸ்கோ பாப்பிரசு (கி.மு 1890 ), பிளிம்ப்டன் 322 (கி.மு 1900) போன்ற பாபிலோனியக் களிமண் வில்லைகள் போன்றனவும் கிடைக்கின்றன. எடுத்துகாட்டாக, மாஸ்கோ பாப்பிரசு முனைவெட்டிய கூம்புப் பட்டகத்தின் பருமனைக் கணக்கிடுவதற்கான வாய்பாட்டைத் தருகிறது.^[10] பிற்காலக் களிமண் வில்லைகள் (கி.மு 350–50) பாபிலோனிய வானியலாளர்கள் வியாழனின் இருப்பையுமியக்கத்தையும் நேர-விரைவு வெளியில் கண்டுபிடிக்க, சீரிலா நாற்கோணகத்தைச் சார்ந்த வழிமுறைகளைப் பின்பற்றியதை விளக்குகின்றன. இந்த வடிவியல் வழிமுறைகள் கி.பி 14 ஆம் நூற்றாண்டில் தோன்றிய ஆக்சுபோர்டு கணிப்பான்கள், நிரல் வேகத் தேற்றம் ஆகியவற்றின் மூன்னொடிகளாகத் திகழ்கின்றன. ஐரோப்பாவில் பிற்காலத்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சில கோட்பாடுகள் பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பே எகிப்து, பாபிலோனியா போன்ற இடங்களில் பயன்படுத்தப்பட்டு வந்ததும் தெரிய வந்துள்ளது. எடுத்துக்காட்டாகப் பைதாகரசின் தேற்றத்தில் சொல்லப்படும் கருப்பொருள்கள் பற்றி எகிப்திலும், பாபிலோனியாவிலும் பைதாகரசுக்கு 1500 ஆண்டுகளுக்கு முன்னரே அறிந்திருந்தார்கள். எகிப்தியர் கூம்புப் பட்டகங்களின் அடிப்பகுதியின் பருமன் அளவுகளைக் கணிக்கும் முறைபற்றி அறிந்திருந்தனர். பாபிலோனியர் அக்காலத்திலேயே கோண கணிதம் தொடர்பான அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி வந்தனர். .^[11] எகிப்துக்குத் தெற்கே வாழ்ந்த நூபியர்கள் தொடக்கநிலை சூரியக் கடிகாரம் வகைகள் உட்பட்ட வடிவியல் அறிவு அமைப்பைப் பெற்றிருந்துள்ளனர்.^[12]^[13]

பண்டைக்கால இந்தியாவில் வடிவவியல்

சிந்துவெளி

சுமார் கி.மு. 3000 ஆண்டு காலத்திலிருந்தே சிந்துவெளி மக்களின் வடிவவியல் அறிவு சமகால நாகரீகங்களின் வடிவவியல் அறிவுக்கு இணையானதாகவே கருதப்படுகின்றது. அங்கேயிருந்த அரப்பா முதலிய நகரங்களின் உயர்நிலையிலான நகரத் திட்டமிடல் இதற்குச் சிறந்த சான்றாக விளங்குகின்றது. நிறை கற்கள், செங்கற்களின் உருவளவுகள் போன்றவற்றிலும் வடிவவியல் அறிவின் பயன்பாட்டைக் காண முடிகின்றது. நிறைகற்கள் பருங்குற்றி, உருளை, கூம்பு போன்ற பல வடிவங்களில் செய்யப்பட்டன. செங்கல் உருவளவின் செந்தர விகிதங்கள் (4:2:1) ஆகப் பயன்படுத்தப்பட்டதும் தெரிய வருகிறது.

இந்தியக் கணிதவியலாளர்கள் வடிவியலுக்குப் பெரும்பங்களிப்புகள் செய்துள்ளனர். சுலப சாத்திரத்தைப் போன்ற சதபதப் பிரமானம் (கி.மு மூன்றாம் நூற்றாண்டு) சடங்கு வடிவியல் கட்டுமானங்களுக்கான விதிகளைத் தருகிறது.^[3] (அயாழ்சி 2005)தகவல்படி, சுலப சாத்திரம் "உலகிலேயே பிதாகரசு தேற்றத்தின் மிகப்பழைய சொல்வடிவக் கோவையைக் கொண்டுள்ளது. என்றாலும் இது ஏற்கெனவே தொல்பாபிலோனியர் அறிந்தது தான். இந்நூல் பிதாகர்சின் மும்மைகளைக் கொண்டுள்ளது^[14] இவை டயோபண்டைன் சமன்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட வகைகள் தாம் எனலாம்.^[15]

மேலும் பார்க்க

யூக்ளிடு வடிவியல்

மேற்கோள்கள்

[1]
(Boyer 1991, "Ionia and the Pythagoreans" p. 43)
[2]
Martin J. Turner,Jonathan M. Blackledge,Patrick R. Andrews (1998). Fractal geometry in digital imaging. Academic Press. p. 1. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-12-703970-8
[3]
(Staal 1999)^{[full citation needed]}
[4]
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம்.
[5]
Lamb, Evelyn (2015-11-08). "By Solving the Mysteries of Shape-Shifting Spaces, Mathematician Wins $3-Million Prize". Scientific American. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2016-08-29.
[6]
Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. p. xiv. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 081604953X.
[7]
Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). A coherent curriculum. American educator, 26(2), 1-18.
[8]
J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
[9]
Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.). Dover Publications. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-22332-2. Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
[10]
(Boyer 1991, "Egypt" p. 19)
[11]
Ossendrijver, Mathieu (29 Jan 2016). "Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter’s position from the area under a time-velocity graph". Science 351 (6272): 482–484. doi:10.1126/science.aad8085. பப்மெட்:26823423. http://science.sciencemag.org/content/351/6272/482.full. பார்த்த நாள்: 29 January 2016.
[12]
Depuydt, Leo (1 January 1998). "Gnomons at Meroë and Early Trigonometry". The Journal of Egyptian Archaeology 84: 171–180. doi:10.2307/3822211.
[13]
Slayman, Andrew (May 27, 1998). "Neolithic Skywatchers". Archaeology Magazine Archive.
[14]
Pythagorean triples are triples of integers $(a,b,c)$ with the property: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Thus, $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ , $8^{2}+15^{2}=17^{2}$ , $12^{2}+35^{2}=37^{2}$ etc.
[15]
(Cooke 2005, p. 198): "The arithmetic content of the Śulva Sūtras consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and (12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others."

தகவல் வாயில்கள்

Boyer, C. B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach ed.). New York: Wiley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-54397-7. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.