நான்முக எண்

எண்கணிதத்தில் நான்முக எண் (tetrahedral number) அல்லது முக்கோண பிரமிடு எண் (triangular pyramidal number) என்பது அடி மற்றும் மூன்று பக்கங்களும் முக்கோணமாகக் கொண்ட பிரமிடைக் குறிக்கும் வடிவ எண்ணாகும். இந்தப் பிரமிடு ஒரு நான்முகி ஆகும். n -ஆம் நான்முக எண், முதல் n முக்கோண எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும்..

5 அலகு பக்க அளவு கொண்ட பிரமிடு. இதில் 35 கோளங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு அடுக்கும் முதல் ஐந்து முக்கோண எண்களில் ஒன்றைக் குறிக்கும்.

முதல் நான்முக எண்கள் சில (OEIS-இல் வரிசை A000292)

:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

• n-ஆம் நான்முக எண்ணின் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}={n^{\overline {3}} \over 3!}}$

இங்கு :${\displaystyle {n^{\overline {3}}}}$ -மூன்றாம் கூடும் தொடர்பெருக்கம்.

குறிப்பிடத்தக்க விவரங்கள்

• பாஸ்கலின் முக்கோணத்தில் இடமிருந்து வலமாக அல்லது வலமிருந்து இடமாக பார்த்தாலும் நான்முக எண்கள், நான்காவது இடத்தில் அமைகின்றன. எனவே நான்முக எண்கள் ஈருறுப்புக் கெழுக்களாகும்:

${\displaystyle T_{n}={n+2 \choose 3}.}$

• மூன்று நான்முக எண்கள் மட்டுமே முழு வர்க்கங்களாக இருக்கும் என்பதை 1878 -ல் கணிதவியலாளர் ஏ. ஜே. மெய்ல் நிறுவியுள்ளார்:

${\displaystyle T_{1}=1^{2}=1.}$

${\displaystyle T_{2}=2^{2}=4.}$

${\displaystyle T_{4}8=140^{2}=19600}$

• சதுர பிரமிடு எண்ணாக அமையும் நான்முக எண் 1 மட்டும்தான். (புயூக்கர்ஸ், 1988) முழு கனமாக அமையும் நான்முக எண்ணும் 1 மட்டுமே.
• தலைகீழ் நான்முக எண்களின் முடிவிலா கூட்டுத்தொகை:

${\displaystyle \!\ \sum _{n=1}^{\infty }{6 \over {n(n+1)(n+2)}}={3 \over 2}}$

• ஒற்றை-இரட்டை-இரட்டை-இரட்டை என்ற அமைப்பில் நான்முக எண்கள் அமைந்துள்ளதைக் காணலாம்.
•  :${\displaystyle T_{5}=T_{1}+T_{2}+T_{3}+T_{4}.}$
• முக்கோண எண்ணாகவும் நான்முக எண்ணாகவும் அமையும் எண்கள் கீழ்க்காணும் ஈருறுப்புக் கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்:

${\displaystyle Tr_{n}={n+1 \choose 2}={m+2 \choose 3}=Te_{m}.}$

முதல் நான்முக எண் = முதல் முக்கோண எண் = 1

3-ஆம் நான்முக எண் = 4-ஆம் முக்கோண எண் = 10

8-ஆம் நான்முக எண் = 15-ஆம் முக்கோண எண் = 120

20 -ஆம் நான்முக எண் = 55 -ஆம் முக்கோண எண் = 1540

34-ஆம் நான்முக எண் = 119-ஆம் முக்கோண எண் = 7140

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Tetrahedral Number", MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.