இணைச் சிக்கலெண்

கணிதத்தில் இணைச் சிக்கலெண்கள் அல்லது இணையியச் சிக்கலெண்கள் (complex conjugates) என்பவை சமமான மெய்ப்பகுதிகளையும், குறியில் மட்டும் எதிராகவும் அளவில் சமமாகவும் உள்ள கற்பனைப் பகுதிகளையும் கொண்ட சிக்கலெண் சோடியைக் குறிக்கும்^[1][2]. எடுத்துக்காட்டாக, 3 + 4i , 3 − 4i இரண்டும் இணைச் சிக்கலெண்கள்.

${\displaystyle z=a+ib}$ (${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ மெய்யெண்கள்) எனில், அதன் இணைச் சிக்கலெண்

${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib.\,}$

எடுத்துக்காட்டுகள்

${\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}$

${\displaystyle {\overline {7}}=7}$

${\displaystyle {\overline {i}}=-i.}$

சிக்கலெண் தளத்தில் சிக்கலெண் z , அதன் இணைச் சிக்கலெண் z̅ இரண்டின் வடிவவியல் விளக்கம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. மெய்யச்சில் z இன் பிரதிபலிப்பே அதன் இணைச் சிக்கலெண் z̅ ஆகும்.

சில இடங்களில், இணைச் சிக்கலெண்ணானது ${\displaystyle z^{*}\!}$ என்ற குறியீட்டாலும் குறிக்கப்படுகிறது.

சிக்கலெண்கள், சிக்கலெண் தளத்திலமைந்த புள்ளிகளாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் x-அச்சு, y-அச்சு இரண்டும் ஆதியில் வெட்டிக்கொள்ளும் மெய்யெண் கோடுகளாகும். சிக்கலெண் தளத்தில், y-அச்சானது ${\displaystyle \pm i,}$ உடன் பெருக்கக் கிடைக்கும் மெய்யெண்களால் ஆனதாகும். x-அச்சானது மெய் அச்சு என்றும் (குறியீடு Re), y-அச்சானது கற்பனை அச்சு, (குறியீடு Im) என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த Re , Im அச்சுகளால் தீர்மானிக்கப்படும் தளத்தில் அனைத்து சிக்கலெண்களும் அமைகின்றன. இதுவே சிக்கலெண் தளமாகும். இத் தளத்தில், x-அச்சில் பிரதிபலிக்கப்படும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் எதிருரு, அச் சிக்கலெண்ணின் இணைச் சிக்கலெண்ணாக இருக்கும். வடிவவியல் விளக்கமாக, இப் பிரதிபலிப்பு அச் சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலின் மெய் அச்சைப் பொறுத்த 180 பாகைகள் சுழற்சிக்குச் சமானமானதாகும்.

வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையில் ${\displaystyle re^{i\phi }}$ இன் இணைச் சிக்கலெண் ${\displaystyle re^{-i\phi }}$ ஆகும். ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் வாயிலாக இதனைப் பெறலாம்.

பண்புகள்

கீழே தரப்பட்டுள்ள பண்புகள் அனைத்து சிக்கலெண்கள் z , w அனைத்துக்கும் உண்மையாகும். z , w இரண்டையும் a + ib வடிவில் எடுத்துக்கொண்டு இப் பண்புகளை நிறுவ முடியும்.

${\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\ }$

${\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}\!\ }$

${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }$

${\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\overline {z}}/{\overline {w}}\!\ }$ (இங்கு w சுழியற்றதாக இருக்க வேண்டும்)

${\displaystyle {\overline {z}}=z\!\ }$ z மெய்யெண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே)

${\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}}$ (n, ஏதேனுமொரு முழு எண்)

${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}$

${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z\!\ }$

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$ (z, சுழியற்றது)

${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\,\!}$

${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}\,\!}$ (z சுழியற்றது)

மெய்யெண் கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ${\displaystyle p;}$ மேலும் ${\displaystyle p(z)=0}$ எனில், ${\displaystyle p({\overline {z}})=0}$ என்பதும் உண்மையாகும். அதாவது, மெய்யெண் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மெய்யெண்ணல்லாத மூலங்கள் இணை சிக்கலெண்களாக அமையும்.

ஒரு மாறியாகப் பயன்பாடு

ஒரு சிக்கலெண் ${\displaystyle z=x+iy}$ அல்லது ${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }}$ தரப்பட்டால் அதன் இணைச் சிக்கலெண்ணைக்கொண்டு z-மாறியின் பகுதிகளைப் பெறமுடியும்:

• மெய்ப் பகுதி: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• கற்பனைப் பகுதி: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• மட்டு மதிப்பு/தனி மதிப்பு: ${\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• கோண வீச்சு (Argument): ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}}}$ எனவே,

${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

குறிப்புகள்

1. Weisstein, Eric W., "Complex Conjugates", MathWorld.
2. Weisstein, Eric W., "Imaginary Numbers", MathWorld.

மேற்கோள்கள்

• Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Spinger-Verlag, 1988. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).