ஓரலகு வட்டம்

கணிதத்தில் ஓரலகு வட்டம் அல்லது அலகு வட்டம் (Unit circle) என்பது ஓரலகு ஆரமுள்ள ஒரு வட்டமாகும். பெரும்பாலான நேரங்களில் இதன் ஆரம் ஓரலகாகவும் மையம் ஆதிப்புள்ளியாகவும் அமையும். குறிப்பாக முக்கோணவியலில் யூக்ளிடின் தளத்தில் கார்ட்டீசியன் ஆயமுறைப்படி ஓரலகு ஆரத்தையும் ஆதிப்புள்ளி (0, 0) -ஐ மையமாகவும் கொண்ட வட்டமாகும். இதன் வழக்கமான குறியீடு S¹. ஓரலகு வட்டத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் ஓரலகு கோளமாகும்.

ஓரலகு வட்டம். மாறி t ஒரு கோண அளவு.

(x, y) என்பது ஓரலகு வட்டத்தின் மீது, முதல் காற்பகுதியில் அமையும் ஒரு புள்ளி எனில் x மற்றும் y நீளங்கள், ஓரலகு நீளமுடைய செம்பக்கம் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில் செங்கோணத்தைத் தாங்கும் இரு தாங்கிப்பக்கங்களாக இருக்கும். எனவே பித்தாகரசு தேற்றப்படி, x மற்றும் y பின்வரும் சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும்:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

x -ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும், x² = (−x)², மேலும் ஓரலகு வட்டத்தின்மீது அமையும் எந்தவொரு புள்ளியின் x அல்லது y அச்சில் பிரதிபலிப்பும் ஓரலகு வட்டத்தின் மீது அமையும் புள்ளியாகவே அமையும் என்பதால் மேற்கண்ட சமன்பாடு முதல் காற்பகுதி மட்டுமல்லாது மற்ற மூன்று காற்பகுதிகளில் அமையும் புள்ளிகளுக்கும் பொருந்தும்.

ஓரலகு வட்டத்தின் புள்ளிகள்

ஓரலகு வட்டத்தின் மீது அமையும் புள்ளிகளைப் பின்வருமாறு குறிக்கலாம்.

• அடுக்குக்குறியீட்டில்:

${\displaystyle z=\,\mathrm {e} ^{it}\,}$

• முக்கோணவியல் சார்புகளில்:

${\displaystyle z=\cos(t)+i\sin(t)\,}$ (கலப்பெண் வடிவில்)

${\displaystyle (cost,sint)\,}$ (கார்ட்டீசியன் ஆய தொலைவுகளில்)

முக்கோணவியல் சார்புகள்

ஓரலகு வட்டத்தில் குறிப்பிட்ட புள்ளிகளின் அச்சுதூரங்கள்

ஓரலகு வட்டத்தில் முக்கோணவியல் சார்புகளான சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்.

(x, y) ஓரலகு வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. ஆதிப்புள்ளி (0, 0) லிருந்து (x, y) -க்கு வரையப்படும் கதிர் x அச்சின் நேர்ம திசையுடன் உண்டாக்கும் கோணம் t எனில்:

${\displaystyle \cos(t)=x\,\!}$

${\displaystyle \sin(t)=y\,\!}$

ஓரலகு வட்டச் சமன்பாடு x² + y² = 1 -லிருந்து

${\displaystyle \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!}$ எனக் காணலாம்.

ஓரலகு வட்டத்தின் மூலம் சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகள் காலமுறைமைச் சார்புகள் என்பதை அறியலாம. அவற்றின் காலமுறைமையின் அளவு ${\displaystyle 2\pi \!}$

${\displaystyle \cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!}$

${\displaystyle \sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!}$

இங்கு k ஒரு முழு எண்.

செங்கோண முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி 0 முதல் π/2 -வரையிலான கோணங்களுக்கு மட்டுமே முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க முடியும். ஆனால் ஓரலகு வட்டத்தின் மூலம் எந்தவொரு மெய்யெண் கோணத்திற்கும் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம்.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Unit circle", MathWorld.
• Flash animation for learning the unit circle
• GonioLab பரணிடப்பட்டது 2007-10-06 at the வந்தவழி இயந்திரம்: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions