Täthetsfunktion

Inom sannolikhetsteori ger täthetsfunktionen en bild av hur sannolika olika resultat är i förhållande till varandra till skillnad från fördelningsfunktionen som ger sannolikheten att variabeln antar värden som "ligger till vänster" om en given punkt ${\displaystyle x}$ på talaxeln, dvs. inom intervallet ${\displaystyle [x,x+dx]}$.

Ett annat vanligt namn på täthetsfunktionen är frekvensfunktion,^[1] men skall man vara precis gör man distinktionen frekvensfunktion eller sannolikhetsfunktion för diskreta stokastiska variabler och täthetsfunktion för kontinuerliga.^[2][3][4][5]

Kontinuerlig endimensionell täthetsfunktion

Givet en kontinuerlig slumpvariabel (stokastisk variabel) ${\displaystyle X}$ beskriver täthetsfunktionen ${\displaystyle f(x)}$ sannolikheten att variabeln ska anta värden mellan ${\displaystyle a}$ och ${\displaystyle b}$ med hjälp av formeln

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f(u)\,du}$

Om ${\displaystyle F(x)}$ är den kumulativa fördelningsfunktionen för ${\displaystyle X}$ så erhålles den ur

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,du}$

och om ${\displaystyle f(x)}$ är kontinuerlig i ${\displaystyle x}$ så är

${\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}F(x)}$.

Diskret endimensionell frekvensfunktion

Givet en diskret stokastisk variabel ${\displaystyle X}$ ges frekvensfunktionen av

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}\Pr(X=x_{i})\,\delta (x-x_{i}),}$

Formell definition

För den stokastiska variabeln ${\displaystyle X}$ kan man associera en täthetsfunktion ${\displaystyle f(x)}$ som uppfyller villkoren:

1. Icke-negativitet för alla ${\displaystyle x}$,
2. Dess integral över alla x är lika med 1.

En täthetsfunktion som inte uppfyller det sista villkoret kallas onormerad.

Se även

• sannolikhetsfördelning
• stokastisk variabel
• matematisk statistik
• normalfördelning

Referenser

1. Frekvensfunktion i Nationalencyklopedin.
2. Statistiska institutionen Stockholms Universitet, kapitel 6 - Stokastiska variabler, sid. 4 och 7.
3. Mats Gunnarsson, Tillämpad matematik III/Statistik - Diskreta stokastiska variabler Arkiverad 10 juli 2019 hämtat från the Wayback Machine., sid 44 och 52.
4. Aila Särkkä, Flerdimensionella stokastiska variabler Arkiverad 20 maj 2018 hämtat från the Wayback Machine., sid. 1.
5. Chalmers, Liten engelsk-svensk ordlista för begrepp i sannolikhet och statistik.