Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Ett sannolikhetsrum är inom sannolikhetsteori ett begrepp som samlar ihop begreppen utfall, händelse och sannolikhet. Sannolikhetsrum definierades av Andrej Kolmogorov under 1930-talet.
Låt vara en icke-tom mängd och en sigma-algebra i . En funktion är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran om den besitter de två egenskaperna:
Ett sannolikhetsrum är en trippel . är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.
Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd, , på ett reellt tal, (sannolikheten för händelsen A).
Två händelser A och B kallas för varandras komplementhändelser om de är disjunkta och deras union är hela utfallsrummet.
Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.
Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet
där och sannolikhetsmåttet är ,
där är kardinaliteten för mängden A.
Om är ett måttrum där kan man definiera ett sannolikhetsmått ,
Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet är en trippel .
Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.
Om , och (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.
Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt vara ett sannolikhetsrum och en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är
där
dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är :s bildmått med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.
Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.
En stokastisk variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.
Mer precist, låt vara ett sannolikhetsrum. En funktion är en stokastisk variabel om
Detta innebär att en funktion är -mätbara.
Väntevärde för en stokastisk variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.
Mer precist, om låt vara ett sannolikhetsrum. Om är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal
Här är en måttintegral med avseende på måttet .
Man kan definiera en varians och en kovarians om man vet väntevärdet.
Variansen för ett stokastisk variabel , med , är talet
och kovarians mellan två stokastiska variabeler är ett tal
Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.
Händelsekonvergenssatsen:
Fatous lemma: om är stokastiska variabler får man att
Monotona konvergenssatsen: om är stokastiska variabler med finns det och
Dominerade konvergenssatsen: om och är stokastiska variabler med för alla och finns det och
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.