Riktningscosiner

Inom analytisk geometri, är en euklidisk vektors riktningscosiner cosinusvärdena för vinklarna mellan vektorn och de tre koordinataxlarna. Ekvivalent, de är varje baskomponents bidrag till en enhetsvektor i vektorns riktning. Riktningscosiner är en analog utvidgning av den vanliga lutningen för högre dimensioner.

En vektor v i ℝ³ med riktningsvinklar

Riktningscosiner och riktningsvinklar för enhetsvektorn v/|v|

Tredimensionella kartesiska koordinater

Om v är en euklidisk vektor i ℝ³,

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},}$

där ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}}$ är standardbasen i kartesisk notation, är riktningscosinerna

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a&{}=\cos \alpha ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\b&{}=\cos \beta ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\c&{}=\cos \gamma ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}$

och ${\displaystyle v_{x},\ v_{y},\ v_{z}}$ de kartesiska koordinaterna för enhetsvektorn ${\displaystyle v/|v|}$ och ${\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }$ är riktningsvinklarna för vektorn ${\displaystyle v}$. Genom att addera ekvationernas respektive kvadrater fås

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1}$

Riktningsvinklarna ${\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }$ är trubbvinkliga eller spetsvinkliga, det vill säga, ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq \pi ,\ 0\leq \beta \leq \pi }$ och ${\displaystyle 0\leq \gamma \leq \pi }$ och de anger vinklarna som bildas mellan v och enhetsbasens vektorer, ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}}$.

Mera allmänt, refererar riktningscosin till cosinusvärdet av vinkeln mellan varje par av euklidiska vektorer.

Exempel

Vinkeln mellan två riktningar

Om två vektorer är givna, v₁ med riktningscosinerna a₁, b₁ och c₁ och v₂ med riktningscosinerna a₂, b₂ och c₂, så gäller för vinkeln ${\displaystyle \theta }$ mellan v₁ och v₂:

${\displaystyle \cos \theta =a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}$

Planets normalform

Om ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ är riktningsvinklarna för en normal till ett plan är planets ekvation på normalform

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p}$

där p är längden av normalen från origo till planet.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Direction cosines, 29 oktober 2017.