Inom analytisk geometri , är en euklidisk vektors riktningscosiner cosinusvärdena för vinklarna mellan vektorn och de tre koordinataxlarna . Ekvivalent, de är varje baskomponents bidrag till en enhetsvektor i vektorns riktning. Riktningscosiner är en analog utvidgning av den vanliga lutningen för högre dimensioner.
En vektor v i ℝ3 med riktningsvinklar Riktningscosiner och riktningsvinklar för enhetsvektorn v /| v |
Om v är en euklidisk vektor i ℝ3 ,
v
=
v
x
e
x
+
v
y
e
y
+
v
z
e
z
,
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},}
där
e
x
,
e
y
,
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}}
a
=
cos
α
=
v
⋅
e
x
‖
v
‖
=
v
x
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
,
b
=
cos
β
=
v
⋅
e
y
‖
v
‖
=
v
y
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
,
c
=
cos
γ
=
v
⋅
e
z
‖
v
‖
=
v
z
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a&{}=\cos \alpha ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\b&{}=\cos \beta ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\c&{}=\cos \gamma ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}
och
v
x
,
v
y
,
v
z
{\displaystyle v_{x},\ v_{y},\ v_{z}}
v
/
|
v
|
{\displaystyle v/|v|}
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }
v
{\displaystyle v}
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1}
Riktningsvinklarna
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }
trubbvinkliga eller spetsvinkliga , det vill säga,
0
≤
α
≤
π
,
0
≤
β
≤
π
{\displaystyle 0\leq \alpha \leq \pi ,\ 0\leq \beta \leq \pi }
0
≤
γ
≤
π
{\displaystyle 0\leq \gamma \leq \pi }
v och enhetsbasens vektorer,
e
x
,
e
y
,
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}}
Mera allmänt, refererar riktningscosin till cosinusvärdet av vinkeln mellan varje par av euklidiska vektorer.
Exempel
Om två vektorer är givna, v 1 med riktningscosinerna a 1 , b 1 och c 1 och v 2 med riktningscosinerna a 2 , b 2 och c 2 , så gäller för vinkeln
θ
{\displaystyle \theta }
v 1 och v 2 :
cos
θ
=
a
1
a
2
+
b
1
b
2
+
c
1
c
2
{\displaystyle \cos \theta =a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}
Om
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
normalform
x
cos
α
+
y
cos
β
+
z
cos
γ
=
p
{\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p}
där p är längden av normalen från origo till planet.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Direction cosines , 29 oktober 2017 . 
