Oktogon

Oktogon eller oktagon, åttahörning, är en polygon med åtta hörn.^[1] En liksidig och likvinklig (135° = 3π/4) oktogon kallas för en regelbunden oktogon och har Schläfli-symbolen ${\displaystyle \scriptstyle \left\{8\right\}}$.

För byggnader med oktogonal grundplan, se Oktogon (arkitektur).

Stopp-skylten har en regelbundet oktogonal form.		Paraplyer sedda uppifrån.

I Sverige och flera andra länder har stoppskyltar, det vill säga skyltar som visar att stopplikt gäller, formen av en regelbunden oktogon.

Vinkelsumman i en oktogon är 1080° (6π).

Regelbundna oktogoner

Figur 2.

Figur 3.

För en regelbunden oktogon med sidlängden ${\displaystyle a}$ gäller (se figur 2):

Area

En regelbunden oktogon har arean: ${\displaystyle A=2(1+{\sqrt {2}})\cdot a^{2}\approx 4,\!828\cdot a^{2}.}$

Härledning

En regelbunden åttahörning är en kvadrat med fyra avskurna hörn (som i figur 3). Dessa hörn är rätvinkliga trianglar med hypotenusan ${\displaystyle a}$ och de liklånga kateterna är sålunda ${\displaystyle a/{\sqrt {2}}}$^[2] vilket ger att den hela kvadraten har sidlängden ${\displaystyle S=d_{2}=a+2a/{\sqrt {2}}}$ och därmed arean ${\displaystyle (a+2a/{\sqrt {2}})^{2}=a^{2}+a^{2}2{\sqrt {2}}+2a^{2}=a^{2}+2(1+{\sqrt {2}})\cdot a^{2}}$. De fyra bortskurna trianglana har sammanlagt arean ${\displaystyle 4(a/{\sqrt {2}})^{2}/2=a^{2}}$^[3] vilket subtraheras från kvadraten och ger resten ${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})\cdot a^{2}}$.

Diagonaler

"Silverrektangeln" har sidlängderna ${\displaystyle a}$ respektive ${\displaystyle d_{2}}$ och därför proportionerna ${\displaystyle 1\$ :\ 1+{\sqrt {2}}} .

Diagonalerna (figur 2) har längderna:

${\displaystyle d_{1}=a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle d_{2}=(1+{\sqrt {2}})a}$

${\displaystyle d_{3}=a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

Härledning

Längden för ${\displaystyle d_{2}}$ visades ovan under Area vara ${\displaystyle d_{2}=a+2a/{\sqrt {2}}=(1+{\sqrt {2}})\cdot a}$

Betrakta den rätvinkliga triangeln ${\displaystyle \triangle ADE}$ i figur 2 vars hypotenusa har längden ${\displaystyle d_{1}}$ och vars kateter har längderna ${\displaystyle d_{2}}$ och ${\displaystyle a}$. Pythagoras sats ger

${\displaystyle {d_{1}}^{2}={d_{2}}^{2}+a^{2}=(1+{\sqrt {2}})^{2}a^{2}+a^{2}=(1+2{\sqrt {2}}+2)a^{2}+a^{2}=a^{2}(4+2{\sqrt {2}})\Leftrightarrow }$

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {a^{2}(4+2{\sqrt {2}})}}=a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

Betrakta en rätvinklig triangel ${\displaystyle \triangle AKC}$ där ${\displaystyle K}$ (ej utmärkt i figur 2 men ligger i skärningspunkten mellan r₁ och d₂) är fotpunkt till ${\displaystyle C}$ på ${\displaystyle {\overline {AD}}}$. Dess hypotenusa har längden ${\displaystyle d_{3}}$ och, eftersom ${\displaystyle \triangle CKD}$ är en likbent rätvinklig triangel med hypotenusan ${\displaystyle a}$ och följdakligen båda kateterna ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$^[2] , har kateterna i ${\displaystyle \triangle AKC}$ längderna ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$ respektive ${\displaystyle d_{2}-{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a-{\frac {a}{\sqrt {2}}}=a(1+{\sqrt {2}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}})}$.

Pythagoras sats ger:

${\displaystyle {\begin{aligned}{d_{3}}^{2}&=a^{2}(1+{\sqrt {2}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}+({\frac {a}{\sqrt {2}}})^{2}=\\&=a^{2}(1+2+{\frac {1}{2}}+2{\sqrt {2}}-{\frac {2}{\sqrt {2}}}-{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}})+{\frac {a^{2}}{2}}=\\&=a^{2}(1+2+{\frac {1}{2}}+2{\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}-2+{\frac {1}{2}})=\\&=a^{2}(2+{\sqrt {2}})\Leftrightarrow \end{aligned}}}$

${\displaystyle d_{3}=a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

De inskrivna och omskrivna cirklarna

Radierna fås direkt genom halvering av de två av diagonalerna som är liklånga med cirklarnas respektive diametrar:

Den inskrivna cirkelns radie är ${\displaystyle r_{1}={\frac {d_{2}}{2}}=a\cdot {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\approx 1,\!2071\cdot a}$

Den omskrivna cirkelns radie är ${\displaystyle r_{2}={\frac {d_{1}}{2}}=a\cdot {\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}=a\cdot {\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}\approx 1,\!3066\cdot a}$

Cirklarnas omkretser och areor fås därefter givetvis av ${\displaystyle 2\pi r}$ respektive ${\displaystyle \pi r^{2}}$.

"Silversnittet" och "cordobasnittet"

Mezquita, stora moskén i Cordoba, är numera den katolska katedralen Catedral de Nuestra Señora de la Asunción.

De om- och inskrivna cirklarnas radier och diametrar eller, om man så vill, diagonalerna ${\displaystyle \scriptstyle d_{1}}$ och ${\displaystyle \scriptstyle d_{2}}$, anses ha spelat roll inom arkitektur och konst, där kvoten mellan dessa och oktogonens sidlängd stundom använts. "Cordobasnittet" (engelska Cordovan ratio, uppkallad efter proportioner hos byggnader, särskilt stora moskén, i Cordoba, Spanien) är kvoten mellan den omskrivna cirkelns radie och oktogonens sidlängd, vilka tillsammans bildar sidorna i "cordobatrianglen" (Cordovan triangle), medan cirkelns diameter och sida bildar sidorna i "cordobarektangeln" (Cordovan rectangle med proportionerna ${\displaystyle \scriptstyle 1\$ :\ {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}} ). "Silversnittet" (på engelska silver ratio^[4]), eller det "silverne snittet" i analogi med det "gyllene snittet" (som är förhållandet mellan sidlängd och diagonal i en regelbunden pentagon, "femhörning"), är kvoten mellan den inskrivna cirkelns diameter och oktogonens sidlängd, vilka tillsammans bildar sidorna i "silverrekttangeln" (silver rectangle med proportionerna ${\displaystyle \scriptstyle 1\$ :\ 1+{\sqrt {2}}} ).^[5][6] "Silversnittet" betecknas ${\displaystyle \textstyle \delta _{Ag}}$ eller ${\displaystyle \textstyle \delta _{S}}$. Ett papper av A-format (exempelvis ett vanligt A4-papper) kan delas i en kvadrat och en "silverrektangel"^[7] eftersom ett sådant papper har proportionerna ${\displaystyle \scriptstyle 1\$ :\ {\sqrt {2}}} och tar man bort en kvadrat med sidlängden 1 från detta har den återstående remsan proportionerna ${\displaystyle \scriptstyle 1\$ :\ {\sqrt {2}}-1\ =\ 1+{\sqrt {2}}\ :\ 1} .^[8][9]

Konstruktion från en kvadrat

Hur man konstrurerar en regelbunden oktogon genom att vika ett kvadratiskt papper med sidlängden ${\displaystyle \scriptstyle S}$. Först (översta raden) viker man en diagonal, som har längden ${\displaystyle \scriptstyle S\cdot {\sqrt {2}}}$. Sedan viker man ner sidan längs diagonalen (figuren nederst till vänster) - den återstående biten av diagonalen har längden ${\displaystyle \scriptstyle S\cdot {\sqrt {2}}-S=S\cdot ({\sqrt {2}}-1)={\frac {S}{1+{\sqrt {2}}}}=a}$^[10], och bildar i övre vänstra hörnet ena diagonalen i en kvadrat med sidlängden ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$. Vik ner hörnet (figuren nederst i mitten) och få den andra diagonalen i denna hörnkvadrat. Denna nya hörnkvadratsdiagonal har längden ${\displaystyle \scriptstyle a}$, är vinkelrät mot hela papperskvadratens diagonal och är därför alltså en av oktogonens sidor!

Hur man viker en regelbunden oktogon utgående från ett kvadratiskt papper framgår av figuren till höger, men är materialet "styvare" får man ta till andra sätt, som passare och linjal (samma princip som pappersvikningen: dra diagonalerna med linjal, mät ut kvadratens sida med passaren på diagonalen och konstruera mittpunktsnormalen till den återstående biten av diagonalen) eller direkt mätning:

Se figur 3. Eftersom kateterna på de gröna rätvinkliga trianglar som skall "skäras bort" från kvadraten har längden ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$ och hela kvadraten har sidlängden ${\displaystyle S=d_{2}=(1+{\sqrt {2}})a}$ (se ovan under Diagonaler) i förhållande till den önskade oktogonens sidlängd ${\displaystyle a}$, har vi att kateterna på de trianglar som skall skäras bort har längden:

${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}={\frac {\frac {a}{\sqrt {2}}}{(1+{\sqrt {2}})a}}\cdot S={\frac {1}{{\sqrt {2}}\cdot (1+{\sqrt {2}})}}\cdot S={\frac {S}{2+{\sqrt {2}}}}\approx {\frac {S}{3,\!4142}}\approx 0,\!2929\cdot S}$.

I praktiken

Multiplicera din spånskivekvadrats sidlängd med 0,293 och märk ut punkter på kvadratens sidor med detta avstånd från hörnen. Dra räta linjer mellan punkterna och följ linjerna när du sågar. Om du vill ha en regelbunden oktogon med en bestämd sidlängd utgår du från en kvadrat med sidor som är ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}\approx 2,\!414}$ gånger så långa som denna önskade längd.

Konstruktion från en given sida med passare och linjal

Hur man konstruerar en regelbunden oktogon med passare och linjal från den givna sidan ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {AB}}}$.

Givet sidan ${\displaystyle {\overline {AB}}}$^[11] (svart) i figuren till höger.

Dra mittpunktsnormalen (brun konstruktion) till ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ och kalla sidans mittpunkt ${\displaystyle C}$. Placera passaren i ${\displaystyle C}$ och avsätt ${\displaystyle |{\overline {CB}}|}$ på mittpunktsnormalen (symboliserat av röd cirkelbåge) och kalla denna punkt ${\displaystyle D}$. Dra den räta linjen genom ${\displaystyle D}$ och ${\displaystyle B}$ (orange).^[12] Sätt passaren i ${\displaystyle B}$ och avsätt ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ på den nyss dragna (orange) linjen genom ${\displaystyle D}$ och ${\displaystyle B}$ (symboliserat av grön cirkelbåge) och kalla denna punkt ${\displaystyle E}$. Vi har nu fått sidan ${\displaystyle {\overline {BE}}}$! Konstruera mittpunktsnormalen (blå konstruktion) till ${\displaystyle {\overline {BE}}}$. De två mittpunktsnormalerna (till ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ respektive ${\displaystyle {\overline {BE}}}$) skär varandra i ${\displaystyle F}$, oktoederns mittpunkt och den omskrivna cirkelns mittpunkt. Placera passaren i ${\displaystyle F}$ och rita den omskrivna cirkeln (violett) med radien ${\displaystyle |{\overline {FA}}|}$. Avsätt sedan ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ runt denna cirkel hörn för hörn ${\displaystyle G,H,...}$ (symboliserat av streckade linjer).

Etymologi

Namnet oktogon(/oktagon kommer från senlatinets oc'togonum/oc'tagonon Dit har ordet hämtats från det grekiska adjektivet Οκτάγωνος ok'tagōnos (av ὀκτώ oktōʹ 'åtta' och -γωνος -gō'nos 'vinklig'). I båda språken har ordet betydelsen 'åttahörning'. Begreppet stavas i olika europeiska språk antingen med centralt -a- (i analogi med oktaeder och andra lånord från grekiskan) eller -o- (i analogi med oktober och andra latinska bildningar baserade på grekiska lånord). I svenska språket förekommer båda varianterna, även om oktogon-stavningen numera är den vanligaste.^[13][14][15]

Referenser och noter

1. ”oktogon”. ne.se. https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/oktogon. Läst 24 juli 2018.
2. Enligt Pythagoras sats: ${\displaystyle x^{2}+x^{2}=a^{2}\Leftrightarrow x^{2}=a^{2}/2}$.
3. fyra trianglar, vardera med en area som är halva produkten av bas=katet och höjd=katet
4. Även det inverterade gyllene snittet ${\displaystyle \scriptstyle \Phi \ =\ 1/\phi \ =\ 2/(1+{\sqrt {5}})}$ kallas "silver ratio". Se Eric Wesstein, Golden ratio conjugate på Wolfram MathWorld.
5. Antonia Redondo Buitrago & Encarnación Reyes Iglesias, Geometry and Art from the Cordovan Proportion och The Geometry of the Cordovan Polygons.
6. Tomas Gil-Lopez, 2012, The Vault of the Chapel of the Presentation in Burgos Cathedral: "Divine Canon? No, Cordovan Proportion", Nexus Network Journal, 14:1.
7. Inom origami-kretsar kallas dock själva A-formatet för silver rectangle. Se David Lister The A4 rectangle Arkiverad 18 oktober 2018 hämtat från the Wayback Machine. på British Origami Society.
8. ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{2-1}}={\frac {1+{\sqrt {2}}}{1}}}$
9. Hemmapysslaren kan sålunda enkelt av ett A4-papper framställa en "silverrektangel" med måtten 210×87 mm och, med hjälp av denna som mall , tillverka en regelbunden oktogon med sidlängden 87 mm av den återstående kvadraten (vik rektangeln längs med på mitten, vik ut den igen och lägg vecket längs kvadratens diagonaler).
10. Förläng med ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {2}}}{1+{\sqrt {2}}}}}$ i näst sista steget.
11. ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {AB}}}$ betecknar sträckan mellan punkterna ${\displaystyle \scriptstyle A}$ och ${\displaystyle \scriptstyle B}$, ${\displaystyle \scriptstyle |{\overline {AB}}|}$ betecknar längden av sträckan ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {AB}}}$.
12. Eftersom ${\displaystyle \scriptstyle |{\overline {CB}}|=|{\overline {CD}}|}$ och vinkeln i ${\displaystyle \scriptstyle C}$ är rät bildar ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {DB}}}$ vinkeln 45° mot ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {AB}}}$ på oktogonens utsida och därför vinkeln 180° - 45° = 135° på dess insida.
13. Oktogon i SAOB.
14. Octagon i Merriam-Webster.
15. Octagon Arkiverad 14 augusti 2019 hämtat från the Wayback Machine. i Oxford Dictionaries.