Oändlig produkt

En oändlig produkt är inom matematiken en produkt som innehåller ett oändligt antal faktorer. Om a_n betecknar den nte faktorn, kan en sådan produkt skrivas

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots .}$

Konvergens

Det finns två fall då denna produkt sägs konvergera:

• ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\prod _{n=1}^{N}a_{n}=P\neq 0}$, eller
• Endast ett ändligt antal ${\displaystyle a_{n}}$ är lika med 0.

Om något av dessa fall är uppfyllt sägs produkten vara konvergent; i annat fall är den divergent.

Exempel på divergenta produkter

Produkterna

• ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ och
• ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }0}$

är inte konvergenta.

Krav för konvergens

Om ${\displaystyle a_{n}>0}$ så konvergerar ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ om och endast om ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergerar.

Exempel

Exempel på välkända oändliga produkter är Viètes formel för talet π,

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$,

och Wallis formel för detsamma,

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots .}$