Eulers formel

Eulers formel inom komplex analys kopplar samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna. Resultatet är namngivet efter Leonhard Euler.^[1]

${\displaystyle \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }=\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta }$

Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas "Eulers formel"

Se Eulers triangelformel för sambandet mellan de in- respektive omskrivna ciklarnas (till en triangel) radier och avståndet mellan deras medelpunkter

Eulers formel på enhetscirkeln i det komplexa talplanet.

En enkel konsekvens av Eulers formel är Eulers identitet

${\displaystyle \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0}$

som förbluffat matematikstuderande genom tiderna. Formeln relaterar fyra tal från helt olika delar av matematiken: talet ${\textstyle e}$ från analysen, talet ${\textstyle \pi }$ från geometrin, den imaginära enheten, ${\textstyle i}$, från de komplexa talen och talet 1 från aritmetiken.

Formeln kan härledas ur taylorutvecklingen av ${\displaystyle e^{z}}$ genom att sätta ${\textstyle z=i\theta }$. Det finns även en omvänd variant som kallas Eulers formler, vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:^[1]

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2i}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}}$

Bevis av Eulers formel

Taylorserien för den reella exponentialfunktionen ${\textstyle e^{x}}$ kan skrivas

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Detta motiverar definitionen av den komplexa exponentialfunktionen enligt

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots }$

Funktionerna ${\textstyle e^{x}}$, ${\textstyle \cos(x)}$ och ${\textstyle \sin(x)}$ (där ${\textstyle x}$ är ett reellt tal) kan taylorutvecklas runt noll, vilket ger serierna

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$

För komplexa tal ${\textstyle z}$, definieras var och en av dessa funktioner av respektive serie genom att ${\textstyle x}$ ersätts med ${\textstyle z}$ (där ${\textstyle x}$ är ett reellt och ${\textstyle z}$ är ett komplext tal). Detta är tillåtet om högerleden existerar för alla ${\textstyle z}$, vilket är fallet då konvergensradierna är oändliga. De tre serierna är absolutkonvergenta för alla ${\textstyle z}$. Då gäller:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{iz}&{}=1+\mathrm {i} z+{\frac {(\mathrm {i} z)^{2}}{2!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{3}}{3!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{4}}{4!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{5}}{5!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{6}}{6!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{7}}{7!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+\mathrm {i} z-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {\mathrm {i} z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {\mathrm {i} z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {\mathrm {i} z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+\mathrm {i} \left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos z+\mathrm {i} \sin z\end{aligned}}}$

Notera att om ${\textstyle z}$ sätts till ett reellt tal ${\textstyle x}$ så erhålls Eulers formel på den vanliga formen:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{ix}=\cos {x}+\mathrm {i} \sin {x}}$

Se även

• Komplexa tal
• Eulers identitet
• Eulers sats