Enhetsmatris

Inom linjär algebra är en enhetsmatris eller identitetsmatris av storleken n, den kvadratiska n×n-matris som har ettor längs huvuddiagonalen (från övre vänstra till nedre högra hörnet) och nollor överallt annars. Den betecknas E_n, eller bara E om storleken är betydelselös eller kan avgöras av sammanhanget. Även I_n respektive I används som beteckning.

${\displaystyle E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ E_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

En viktig egenskap för enhetsmatriser är att

${\displaystyle AE_{n}=A=E_{m}A\,}$

för varje m×n-matris A.

Enhetsmatrisen är också sin egen invers. Den i:te kolonnen i en enhetsmatris är enhetsvektorn e_i. Enhetsvektorerna utgör också en bas för enhetsmatrisens enda egenrum, som svarar mot egenvärdet 1, som sålunda är det enda egenvärdet, med multiplicitet n. Med andra ord är samtliga nollskilda vektorer egenvektorer med egenvärdet 1. Av detta följer att identitetsmatrisens determinant är 1.

När n×n-matriser används för att beskriva linjära transformationer från ett n-dimensionellt vektorrum till sig självt, står E_n för identitetsfunktionen, oavsett vilka basvektorer som används.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från en annan språkversion av Wikipedia.