Binomialsatsen

Binomialsatsen är en sats som används för att utveckla potenser av binom.

En visualisering av termer för de fyra första binomen.

Definition

Låt ${\displaystyle x}$ och ${\displaystyle y}$ vara två godtyckligt valda reella eller komplexa nollskilda tal där ${\displaystyle x+y\neq 0}$. För varje naturligt tal ${\displaystyle n}$ gäller för exponentieringen av binomet ${\displaystyle x+y\,}$:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\,y^{k}}$

där talet

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$

är en binomialkoefficient (utläses n över k eller n välj k) och n! betecknar n-fakultet, vilken definieras som

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n,\qquad 0!=1}$

Historik

Sex rader av Pascals triangel

Binomialsatsen och Pascals triangel — som kan användas för att bestämma koefficienterna — brukar tillskrivas Blaise Pascal som beskrev dem på 1600-talet. De var dock tidigare kända av den kinesiske matematikern Yang Hui på 1200-talet, den persiske matematikern Omar Khayyám på 1000-talet, samt den indiske matematikern Pingala på 200-talet f.Kr.

Tillämpningar av binomialsatsen

• Binomialsatsen gör det enkelt att skriva ned exponentieringen av binom, vilket annars skulle kunna vara tidsödande att utveckla för hand.

Detta kan illustreras med utvecklingen av ${\displaystyle (1+x)^{5}}$:

${\displaystyle (1+x)^{5}={\binom {5}{0}}x^{5}+{\binom {5}{1}}x^{4}+{\binom {5}{2}}x^{3}+{\binom {5}{3}}x^{2}+{\binom {5}{4}}x^{1}+{\binom {5}{5}}x^{0}.}$

Den sjätte raden i Pascals triangel innehåller alla binomialkoefficienter som förekommer i denna utveckling: 1, 5, 10, 10, 5 och 1 och utvecklingen kan därmed skrivas

${\displaystyle (1+x)^{5}=x^{5}+5\,x^{4}+10\,x^{3}+10\,x^{2}+5\,x+1.}$

• Om ${\displaystyle M}$ är en mängd bestående av ${\displaystyle n}$ stycken element, så anger binomialkoefficienten, ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$, antalet delmängder till ${\displaystyle M}$ bestående av ${\displaystyle k}$ stycken element. Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att det kan bildas ${\displaystyle 2^{n}\,}$ delmängder av mängden ${\displaystyle M}$:

Det finns ${\displaystyle {\binom {n}{0}}}$ delmängder bestående av noll element och ${\displaystyle {\binom {n}{1}}}$ delmängder bestående av ett element och ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$ delmängder bestående av två element och så vidare. Totalt finns det

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}+\cdots +{\binom {n}{n}}}$

delmängder till mängden ${\displaystyle M}$. Binomialsatsen ger — med ${\displaystyle x=1}$ och ${\displaystyle y=1}$ —

${\displaystyle 2^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}+\cdots +{\binom {n}{n}}.}$

• Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att om en mängd består av ${\displaystyle n}$ element, så är antalet delmängder med ett udda antal element lika med antalet delmängder med ett jämnt antal element.

Om binomialsatsen tillämpas för de två talen ${\displaystyle x=1\,}$ och ${\displaystyle y=-1\,}$ ger detta

${\displaystyle 0=(1+(-1))^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}={\binom {n}{0}}-{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}-\cdots +(-1)^{n}{\binom {n}{n}}.}$

Om heltalet ${\displaystyle n}$ är jämnt finns det

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{2}}+\cdots +{\binom {n}{n}}}$

stycken delmängder med ett jämnt antal element, och

${\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{3}}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}}$

delmängder med ett udda antal element. Motsvarande resultat gäller då ${\displaystyle n}$ är ett udda tal.

Newtons generaliserade binomialsats

Isaac Newton visade att satsen kan generaliseras till att gälla även då exponenten inte är ett heltal

${\displaystyle (x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}y^{r-k}}$

där ${\displaystyle r}$ kan vara ett godtyckligt komplext tal och ${\displaystyle |x/y|<1}$. Binomialkoefficienterna ges då av

${\displaystyle {r \choose k}={\frac {1}{k!}}\prod _{j=0}^{k-1}(r-j)={\frac {r(r-1)(r-2)\ldots (r-k+1)}{k!}}}$

När ${\displaystyle k=0}$ reduceras denna produkt till en tom produkt och är lika med 1.

Andra generaliseringar

Abel

Niels Henrik Abel generaliserade 1826 binomialsatsen till

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x(x-kz)^{k-1}(y+kz)^{n-k}}$

som gäller för ${\displaystyle x\not =0}$ och icke-negativa heltal n. Formeln ger den vanliga binomialsatsen när ${\displaystyle z=0}$.

Cauchy

Augustin Louis Cauchy gav 1843 en s.k. q-analog generalisering av binomialsatsen enligt

${\displaystyle (x+y)(x+qy)\ldots (x+q^{n-1}y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}_{\!q}q^{k(k-1)/2}x^{n-k}y^{k}}$

för icke-negativa heltal n. I denna formel definieras q-binomialkoefficienterna (även kallade gaussiska polynom) av

${\displaystyle {n \choose k}_{\!q}={\frac {(n)_{q}!}{(n-k)_{q}!\,(k)_{q}!}}}$

där ${\displaystyle (n)_{q}}$ och ${\displaystyle (n)_{q}!}$ är beteckningar för

${\displaystyle (n)_{q}=1+q+\cdots +q^{n-1}\quad {\text{och}}\quad (n)_{q}!=(n)_{q}(n-1)_{q}\ldots (1)_{q}}$

Bevis av binomialsatsen

Det går att bevisa binomialsatsen med hjälp av matematisk induktion. Först visas att binomialsatsen gäller för det naturliga talet ${\displaystyle n=1}$. Sedan antas att binomialsatsen är sann för det naturliga talet ${\displaystyle n=N}$. Därefter visas att detta innebär att binomialsatsen är sann för det efterföljande naturliga talet: ${\displaystyle N+1}$. Beviset avslutas sedan genom att åberopa induktionsaxiomet, vilket leder till slutsatsen att binomialsatsen är sann för varje naturligt tal ${\displaystyle n}$.

Det räcker att bevisa satsen då talet ${\displaystyle y=1}$, eftersom

${\displaystyle (x+y)^{n}=\left(y\left({\frac {x}{y}}+1\right)\right)^{n}=y^{n}\left(1+{\frac {x}{y}}\right)^{n}.}$

Låt ${\displaystyle x}$ vara ett godtyckligt valt (reellt eller komplext) tal. För det naturliga talet n = 1 gäller

${\displaystyle (1+x)^{1}=1+x={\binom {1}{0}}+{\binom {1}{1}}x=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}x^{k},}$

vilket stämmer med binomialsatsen.

Antag att satsen är sann för det naturliga talet ${\displaystyle n=N}$:

${\displaystyle (1+x)^{N}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N},\qquad c_{k}={\binom {N}{k}}}$

vilket är det så kallade induktionsantagandet.

För det efterföljande naturliga talet ${\displaystyle n=N+1}$ utvecklas potensen ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ och koefficienterna grupperas:

${\displaystyle (1+x)^{N+1}=c_{0}+(c_{1}+c_{0})x+\cdots +(c_{N}+c_{N-1})x^{N}+c_{N}x^{N+1}.}$

Sedan visas att en godtycklig koefficient i denna utveckling kan skrivas som

${\displaystyle c_{k}+c_{k-1}={\binom {N+1}{k}},\qquad k=1,\dots ,N.}$

Induktionsantagandet innebär att koefficienten

${\displaystyle c_{k}={\binom {N}{k}},\qquad k=1,2,\dots ,N}$

och följande beräkning, uttrycker summan ${\displaystyle {\binom {N}{k}}+{\binom {N}{k-1}}}$ som binomialkoefficienten ${\displaystyle {\binom {N+1}{k}}:}$

Definitionerna av binomialkoefficient och fakultet ger

${\displaystyle {\binom {N}{k}}+{\binom {N}{k-1}}={\frac {N!}{(k-1)!(N-k)!}}\left({\frac {1}{k}}+{\frac {1}{N+1-k}}\right)={\frac {(N+1)!}{k!((N+1)-k)!}}={\binom {N+1}{k}}.}$

Följaktligen är koefficienterna ${\displaystyle c_{k}}$ sådana att

${\displaystyle c_{k}+c_{k-1}={\binom {N+1}{k}},}$

vilket innebär att utvecklingen av potensen ${\displaystyle (1+x)^{N+1}}$ kan skrivas som

${\displaystyle {\binom {N+1}{0}}+{\binom {N+1}{1}}x+{\binom {N+1}{2}}x^{2}+\cdots +{\binom {N+1}{N}}x^{N}+{\binom {N+1}{N+1}}x^{N+1};}$

där det faktum används att

${\displaystyle {\binom {N+1}{0}}=1={\binom {N+1}{N+1}}.}$

Utvecklingen av potensen ${\displaystyle (1+x)^{N+1}}$ kan kortfattat skrivas med hjälp av summasymbolen som

${\displaystyle (1+x)^{N+1}=\sum _{k=0}^{N+1}{\binom {N+1}{k}}x^{k},}$

vilket enligt binomialsatsen är resultatet då den tillämpas för heltalet ${\displaystyle N+1}$.

Det sista steget i beviset av binomialsatsen är att åberopa induktionsaxiomet, vilket innebär att om det går att visa att ett påstående — i detta fall utvecklingen av potensen ${\displaystyle (1+x)^{N}\,}$ — rörande de naturliga talen är sant för det naturliga talet ${\displaystyle N}$ och att det även är sant för talets efterföljare, ${\displaystyle N+1}$, så är påståendet sant för alla naturliga tal.

Eftersom talet ${\displaystyle x}$ var godtyckligt valt har följande påstående bevisats:

För varje (reellt eller komplext) tal ${\displaystyle x}$ och för varje naturligt tal ${\displaystyle n}$, kan potensen ${\displaystyle (1+x)^{n}\,}$ utvecklas enligt:

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}.}$

Vi lägger sista handen vid beviset genom att visa exponentieringen av det generella binomet ${\displaystyle x+y\,}$:

${\displaystyle (x+y)^{n}=y^{n}\left(1+{\frac {x}{y}}\right)^{n}=y^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left({\frac {x}{y}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}\,y^{n-k}.}$

Härmed är beviset av binomialsatsen klart.

Se även

• Binomialfördelning
• Multinomialsatsen
• Pascals triangel

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Binomialsatsen.
  Bilder & media