Arcus sinus hyperbolicus

Arcus sinus hyperbolicus är inversen till den hyperboliska funktionen sinus hyperbolicus. Funktionen betecknas vanligen "arcsinh" (eller "arsinh", eller "sinh⁻¹"), och ett explicit uttryck för funktionsvärdet är

${\displaystyle \operatorname {arcsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}).}$

Kurvan y = arcsinh(x).

Här anger suffixet "-h" att det är en hyperbolisk och inte en trigonometrisk funktion. Prefixet "arc-" antyder att det rör sig om en invers hyperbolisk funktion. Prefixet kommer från den motsvarande inversa trigonometriska funktionen arcsin, där "arc-" står för båglängd. I det hyperboliska fallet saknas emellertid tolkningen att ${\displaystyle \operatorname {arcsin} \,x}$ står för en båglängd. Däremot kan funktionsvärdet tolkas som en viss area; därför förespråkas ibland beteckningen "arsinh" (där "ar" står för "area") i stället för "arcsinh". Även beteckningen ${\displaystyle \sinh ^{-1}}$ förekommer; en upphöjd minusetta betecknar ju i allmänhet en funktionsinvers.

Explicit uttryck

För att ta fram ett explicit uttryck för ${\displaystyle \operatorname {arcsinh} \,x}$ börjar man med att välja något ${\displaystyle y\in V_{\sinh }}$ (där ${\displaystyle V_{\sinh }}$ är värdemängden till sinh). Det finns då ett ${\displaystyle x\in D_{\sinh }}$ (där ${\displaystyle D_{\sinh }}$ är definitionsmängden till sinh) sådant att

${\displaystyle y=\sinh {x}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

(där vi använde definitionen av sinus hyperbolicus). Med ${\displaystyle t:=e^{x}}$ fås

${\displaystyle y={\frac {t-t^{-1}}{2}}\Rightarrow 2y=t-t^{-1}\Rightarrow 2yt=t^{2}-1}$

${\displaystyle \Rightarrow t^{2}-2yt-1=0\Rightarrow (t-y)^{2}-y^{2}-1=0}$

${\displaystyle \Rightarrow (t-y)^{2}=y^{2}+1\Rightarrow t-y={\sqrt {y^{2}+1}}}$

${\displaystyle \Rightarrow t=y+{\sqrt {y^{2}+1}}.}$

Här använde vi att ${\displaystyle {\sqrt {(t-y)^{2}}}=\left\vert t-y\right\vert =t-y}$ ty

${\displaystyle t-y=e^{x}-\sinh {x}=\cosh {x}\geq 0}$.

Med tanke på att ${\displaystyle t=e^{x}}$ har vi därför

${\displaystyle e^{x}=y+{\sqrt {y^{2}+1}}}$

d.v.s.

${\displaystyle x=\ln(y+{\sqrt {y^{2}+1}})}$.

Alltså är

${\displaystyle \operatorname {arcsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}).}$

Derivata

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},\forall x\in \mathbb {R} .}$

Bevis:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsinh} \,x={\frac {d}{dx}}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2}}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2x)=}$

${\displaystyle ={\frac {1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}={\frac {\frac {{\sqrt {x^{2}+1}}+x}{\sqrt {x^{2}+1}}}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}.}$

Integral

Den primitiva funktionen till arcsinh är

${\displaystyle \int _{}^{}\operatorname {arcsinh} \,xdx=x\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C.}$

Bevis:

Partiell integration av en inskjuten etta ger

${\displaystyle \int _{}^{}\operatorname {arcsinh} \,xdx=\int _{}^{}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})dx=x\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})-\int _{}^{}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx=}$

${\displaystyle =x\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})-{\sqrt {x^{2}+1}}+C=x\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C.}$

Referenser

• De hyperboliska funktionerna, Rejbrand, Andreas