Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Enligt analysens fundamentalsats (analysens huvudsats eller integralkalkylens huvudsats) är de två centrala operationerna inom analysen, derivering och integrering, varandras inverser. Detta innebär att om en kontinuerlig funktion först integreras och sedan deriveras, så fås den ursprungliga funktionen tillbaka. En viktig konsekvens av denna sats är att integraler kan beräknas med hjälp av en primitiv funktion till den funktion som skall integreras.
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Satsen kan formuleras som
Antag att en funktion f är kontinuerlig i intervallet och definiera
Då gäller:
- Funktionen F är deriverbar och dess derivata sammanfaller med funktionen f på det öppna intervallet (a,b):
- (I intervallets ändpunkter gäller denna slutsats höger- resp. vänsterderivatan av F.)
- Om G är en primitiv funktion till f så sammanfaller den med integralen av funktionen f:
Det är inte nödvändigt att kräva att funktionen är kontinuerlig; det räcker om den är Lebesgue-integrerbar på intervallet. Den första slutsatsen, F'(x) = f(x), ändras då till att gälla för nästan alla punkter i intervallet [a,b]; de punkter där slutsatsen inte gäller har Lebesguemåttet lika med noll.
Satsen kan bevisas enligt följande:
I första steget utnyttjas derivatans definition och i det andra definitionen av . I det tredje steget används räknelagar för integraler. I fjärde steget används medelvärdessatsen för integraler. I femte steget utnyttjas det faktum att ligger mellan och , så då gäller att . Sista steget ges av att är kontinuerlig.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.