Värmeledningsekvationen, även kallad diffusionsekvationen, är en partiell differentialekvation med ett antal tillämpningar i fysiken.
Värmeledningsekvationen kan skrivas
där betecknar förändringshastigheten hos funktionen med avseende på tiden, och betecknar laplaceoperatorn.
Värmeledningsekvationen kan användas för att beskriva värmespridning i ett kontinuum[förtydliga]. Funktionen betecknar då temperaturen i mediet och är materialets termiska diffusivitet.
Det homogena fallet
Låt funktionen beteckna värmen i punkten vid tidpunkten . Vi kan då beskriva med hjälp av värmeledningsekvationen:
En enkel fysikalisk tolkning av värmeledningsekvationen är att den anger temperaturen i en oändligt tunn stav av längd som ligger längs x-axeln.
Låt oss även anta staven är perfekt isolerad runt om så att värmen enbart kan flöde horisontellt i staven.
Normal praxis är att också införa begynnelse- och randvillkor. Begynnelsevillkoret ges av
vi låter värmen i stavens ändpunkter och ges av funktionerna och .
Randvillkoren brukar de vara av typen Dirichletvillkor som kan beskrivas enligt
men givetvis finns det andra villkor kan införa t.ex. Neumannvillkor.
För den n-dimensionella värmeledningsekvationen finns det oberoende variabler nämligen och tiden och en beroende variabel som lyder under ekvationen
För att hitta lösningar måste vi använda oss av variabelseparation. Vi antar att lösningen till är på formen .
Vi deriverar nu fram hur sambandet ser ut
- .
Varken höger- eller vänsterledet är beroende av eller därför måste de vara lika med någon konstant :
- och
Som vi kan skriva om som
- resp.
Vi kan nu använda envariabelanalys för att få fram lösningarna till differentialekvationerna med dirchletvillkoren . Villkoren kan fysiskt ses som att man håller ändpunkterna till en stav till
kommer att få tre olika typer av lösningar beroende på värden av :
(1) För d.v.s. ges lösningarna av
- :
- Randvillkoren ger oss då:
Alltså existerar inga negativa egenvärden.
(2) För ges lösningarna av.
- Randvillkoren ger oss då:
Den enda lösningen vi får är
och enligt definitionen av en egenfunktion är därför inte ett egenvärde.
- (3) För d.v.s. ges lösningarna av:
Randvillkoren ger då
- där ∈ Z+
Vi har nu de positiva egenvärdena
med de tillhörande egenfunktionerna
Vi har tagit fram att så vad gäller lösningar till ser vi att de ges av
Med detta får vi nu till slut lösningarna